淺談無窮限反常積分收斂與被積函數極限為零

摘要本文主要通過一些實例從幾個方面探討了初學者非常容易困惑的無窮限反常積分收斂與被積函數極限為零的關系。

關鍵詞無窮限反常積分 收斂 極限

中圖分類號:O17文獻標識碼:A

在無窮限積分的教學過程中，我發現學生對被積函數極限為零而其無窮限積分不一定收斂都很清楚，但是往往會根據常見的無窮限積分(如dx(>1)，dx，e-xdx等)，誤認為當f(x)dx收斂時，就必然有f(x)=0。而實際上，即使f(x)dx收斂，被積函數x→∞在時不但未必趨于零，甚至有可能是無界的，下面我們就從幾個方面來探討兩者之間的關系。

(1)f(x)dx收斂一般不意味著f(x)=0。

例: sinx2dx=收斂，但是sinx2≠0。

(2)f(x)dx收斂，且f(x)≥0也不蘊含f(x)=0。

例:

(3)f(x)dx收斂，f(x)≥0且f(x)連續，也不蘊含f(x)=0。

例:

f(x)dx=··1=1收斂，f(x)≥0且f(x)連續，但f(x)≠0。

(4)若函數f(x)在[0，+∞]單調遞減，且f(x)dx收斂，則f(x)=0，且f(x)=0()，x→+∞。

證明:首先我們有f(x)≥0，因為若存在x1使f(x1)<0，則x>x1時恒有f(x)

其次，由f(x)dx收斂，知>0，EA>a當A'>A''>A時，有f(x)dx<，故對x>2A有0≤xf(x)≤2f(t)dt<，此即xf(x)=0，所以當x→+∞時，f(x)=0()。

(5)若f(x在[a，+∞)上一致連續，且f(x)dx收斂，則f(x)=0。

證明:因f(x)在[a，+∞)上一致連續，故對>0，E>0，(不妨設<)，使得對x1，x2∈[a，+∞)，只要|x1-x2|<，就有|f(x1)-f(x2)|<。

又因f(x)dx收斂，所以T>a存在，使得x1，x2>T，有|f(t)dt|≤。于是，對任意x>T+，取x1>x-，x2=x+，則

|f(x)|=|f(x)dt=f(t)dt+f(t)dt|≤|f(x)-f(t)|dt+|f(t)dt|≤+

從而|f(x)|<+<，故f(x)=0。

(6)若f(x)連續可微，積分f(x)dx和f'(x)dx都收斂，則f(x)=0。

證明:要證明當x→+∞時，f(x)有極限，只需證明對{xn}→+∞時恒有{f(xn)}收斂。事實上，因為f'(x)dx收斂，由柯西準則，對>0，EA>a，當x1，x2>A時，恒有|f'(x)dx|<，即|f(x1)-f(x2)|<。那么對{xn}→+∞，EN>0，當n，m>N時有xn>A，xm>A，從而|f'(x)dx|=|f(xm)-f(xn)|<，因此{f(xn)}收斂，從而極限f(x)=a存在。

下面證明a=0。若a>0，則由保號性，存在M>0，當x>M時，有f(x)>>0，從而當A>M時，f(x)dx≥A→+∞(當A→+∞時)，這與收斂矛盾。同理可證a<0也不可能，故f(x)=0。

綜上所述，學生容易產生困惑的原因是因為把被積函數和積分想象的過于簡單，所以經過以上的討論可以幫助學生深化對函數和積分的認識。

參考文獻

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