例談幾種幾何圖形分類討論的方法

摘要在一些幾何問題中，條件的不明確性會導致出現幾種不同的結果，這就需要對問題進行分類討論。而要分類討論，就必須要找到一個合適的角度。本文就等腰三角形、平行四邊形、梯形等幾個常見圖形談談如何分類討論，從什么角度分類討論。

關鍵詞幾何圖形 分類討論 角度

中圖分類號:G633.6文獻標識碼:A

1等腰三角形的分類討論

例1已知反比例函數y=和一次函數y=2x-1，其中一次函數的圖像經過(a，b)，(a+1，b+k)兩點。

(1)求反比例函數的關系式;

(2)如圖，已知點A是上述兩函數圖像的交點，且在第一象限，則在x軸上是否存在點P，使△AOP為等腰三角形?若存在，求出P點坐標。

解:(1)由題意得

∴K=2，

即反比例函數的關系式為y=

(2)過A，作AH⊥x

由題意得得=2x-1

2x2-x-1=0，

∴x1=1，x2=-，

∵A在第一象限，

∴A(1，1)，∴OA=，

使△AOP為等腰三角形有三種情況:

①以點A作為等腰三角形的頂點

此時，AO=AP=，∴OP=2OH=2(三線合一)，

∴P(2，0)，如圖P1;

②以點O作為等腰三角形的頂點

此時，OA=OP=，

∴P(，0)或P(-，0)，

如圖P2，P3;

③以點P作為等腰三角形的頂點

此時，PA=PO，

∵A(1，1)，

∴不難看出此時的點P正好和點H重合，

∴P(1，0)如圖P4.

綜上，存在點P使△AOP為等腰三角形，P(2，0)或P(，0)或P(-，0)或P(1，0)

評析:本題中沒有具體明確等腰三角形的腰和底，故要分類進行討論，又因為當等腰三角形的頂點確定時腰就確定，因此我們遇到這類問題，可以從等腰三角形的頂點這個角度進行分類討論。

2平行四邊形的分類討論

例2如圖，已知拋物線y=x2-6x+5的圖像交x軸與點A、點B，頂點坐標為C，若以點A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，則點D坐標為多少?

解:由y=x2-6x+5可得，拋物線的頂點坐標

C(3，-4)，

令y=0，則x2-6x+5=0，x1=1，x2=5

即A(1，0)，B(5，0)，

以點A、B、C、D為頂點的平行四邊形要分三種情況:

①以作為一條對角線的平行四邊形

如圖平行四邊形ABCD1，則AC=D1B，AD1=BC，而AC=BC，

∴AC=D1B=AD1=BC，

∴平行四邊形ACBD1為菱形，

點C與點D1關于x軸對稱，∴D1(3，4)

②以AC作為一條對角線的平行四邊形

如圖平行四邊形ACBD2，

則AB∥CD2且AB=CD2=4，

∴D2(-1，-4)

③以BC作為一條對角線的平行四邊形

如圖平行四邊形ACBD3，

則AB∥CD3且AB=CD3=4，

∴D3(7，-4)

綜上，D(3，4)或D(-1，-4)或D(7，-4).

評析:本題中已知平行四邊形的三個頂點、、，顯然在線段，，中只能選取兩條邊作為這個平行四邊形的邊，但又沒有具體明確是哪兩條邊，故要分類進行討論。在分類討論過程中，若用兩條邊來分類顯然比較麻煩，所以想到，兩條邊作為平行四邊形的邊，剩下的那條線段必定是平行四邊形的對角線，因此選擇從平行四邊形的對角線這個角度進行分類討論。

3梯形的分類討論

例3已知拋物線y=ax2+bx(a≠0)的頂點在直線y=x-1上，且過點A(4，0)。

(1)求這個拋物線的解析式;

(2)設拋物線的頂點為P，在拋物線上是否存在一點B，使四邊形OPAB為梯形?若存在，求出B點的坐標;(下轉第124頁)(上接第122頁)若不存在，請說明理由.

解:(1)由題意拋物線y=ax2+bx過點(0，0)、(4，0)，

該拋物線的對稱軸為x=2，

將x=2代入y=-x-1得y=-2，

∴拋物線頂點坐標為(2，-2)，

∴拋物線解析式為y=a(x-2)2-2，

將點(0，0)代入得:a=，

∴拋物線解析式為y=(x-2)2-2，

(2)使四邊形OPAB為梯形要分三種情況:

①OA作為梯形的一底邊，

則PB∥OA，顯然此時過點P且平行與OA的直線和拋物線的交點只有點P，故這種情況不可能，舍去;

②OP作為梯形的一底邊，

則AB∥OP，顯然此時過點A且平行與OP的直線和拋物線有兩個交點，故這種情況成立，如圖梯形OPAB1.

直線OP過O(0，0)，P(2，-2)，

故直線OP的解析式為:y=-x，

∵AB∥OP，

∴直線AB的解析式可設為y=-x+m，

∵直線AB過(4，0)，

∴直線AB的解析式為y=-x+4，

③PA作為梯形的一底邊，

則PA∥OB，顯然此時過點O且平行與PA的直線和拋物線有兩個交點，故這種情況成立，如圖梯形OPAB2

直線PA過A(4，0)，P(2，-2)，

故直線PA的解析式為:y=x-4，

∵PA∥OB，

∴直線OB的解析式可y=x，

綜上:在拋物線上存在點B，使四邊形OPAB為梯形，B(-2，6)或B(6，6)

評析:本題中沒有具體明確梯形的底和腰，故應當分類討論。梯形的一個重要特點是上下兩底平行，那么可以利用這一重要特點，從梯形的底這個角度進行分類討論。