淺談方程思想在中學數學解題中的應用

摘要方程思想是一種重要的數學思想，方程思想對解決實際數學問題，尤其是綜合題型，非常有用。本文將從什么是方程思想，如何運用方程思想解題，學生利用方程進行問題解決的能力培養三個方面對方程思想進行探討。運用方程思想解決實際問題是從現實生活到數學的一種提煉過程，其解題過程并不是一種簡單的形式化的過程，抓住等量關系，將題目中的等量關系用含有未知數的式子表示出來，是方程思想的一種體現。

關鍵詞方程思想 等量關系 問題解決

中圖分類號:G633.6文獻標識碼:A

著名數學家R·柯朗60年前曾擔心:“數學教學有時竟演變成空洞的解題訓練，解題雖然可以提高形式推導的能力，但卻不能導致真正的理解與深入的獨立思考?！蔽覈壳暗臄祵W教育就存在這樣的現狀，一些數學教師在授課過程中采取“知識點—典型題—解題方法”的教學模式，對一系列典型題拋給學生一套法則解題，然后實行題海戰術，反復操練各類題型，使學生熟悉到“條件反射”的地步，嚴重束縛了學生思維發展，違背了教育最初的育人目的。有位數學教師曾經做過測試:對同樣的數學教學內容，采取不同的指導思想，分別施教于兩個平行班:A班采取講題型和解題技巧為主的講法;B班采取分析問題來龍去脈，探究解題策略及傳授相應數學思想方法的講法。課程結束后，A班測試成績略高于B班測試成績，兩個月后又進行了一次測試，B班成績人均高于A班7分!就教學過程而言，A班的講授法重視題目的識別與記憶水平，是典型的機械教學;B班的講授法則重視數學思想方法的傳授。就學生自我發展而言，B班的講授法更占優勢，在數學問題解決上思路更加清晰，對學生自身認知結構構建及思維能力提高起到積極作用。由此可見，數學思想方法的學習和運用對學生學好數學的重要意義，本文則針對數學思想方法中較為重要的方程思想在中學數學解題中的應用進行探討。

1 方程思想

所謂“方程思想”，就是從問題中的未知量入手，探求未知量和已知量之間的數量關系，通過適當設元建立相應個數的方程，解方程(組)，最終達到解題目的的思維方式。由于方程是含有未知數的等式，因此，應用方程思想解決數學問題，要經過設未知數、列方程、解方程的過程。

2 如何運用方程思想解題

2.1 運用方程思想的解題步驟

G·波利亞在《怎樣解題》中提出了“怎樣解題表”的四個步驟:第一，弄清問題:你必須弄清問題;第二，擬定計劃:找出已知數與未知數之間的聯系，如果找不出直接的聯系，你可能不得不考慮輔助問題。你應該最終得出一個求解的計劃;第三，實現計劃:實行你的計劃;第四，回顧。驗算所得到的解。

依據“怎樣解題表”的觀點，將運用方程思想解決數學問題大致歸結為如下四個步驟:第一，在弄清楚問題的基礎上，將問題轉換為一個或幾個未知量;第二，尋找未知量與已知量之間的關系式，即用兩個不同的式子表示同一個量，得到一個或幾個方程;第三，解方程或方程組;第四，將方程或方程組的解帶入原問題中進行檢驗，最終得到問題的正解。

下面就具體的雞兔同籠問題進行方程思想解題的具體說明:我國古代數學名著《孫子算經》中有一著名的“雞兔同籠”問題:今有雞兔同籠，上有35頭，下有94足，問雞兔各幾何?首先，這是一道簡單的數學問題，根據問什么求什么的原則，我們設雞有x只，兔有y只，我們將問題轉換為求解未知量x，y的問題。然后，我們尋求x，y與題中已知條件的關系式，我們發現用x，y表示的雞兔的頭和35構成等量關系，用x，y表示雞兔的足與94構成等量關系，于是，我們得到方程組，我們觀察到恰好有兩個未知數和兩個關于未知數的方程，求解方程組，得到x=23，y=12，符合題目要求，于是最終得到雞兔的個數分別為23和12。這就是一道具體的運用方程思想解決數學問題的實例。

2.2 運用方程思想需要注意的問題

2.2.1 如何設未知數

在解決一些數學問題時，未知數設定得當，問題解決的就簡單;未知數設定不得當，問題解決的過程就會復雜，有時甚至無法解決問題。初學利用方程思想解數學問題時由于學生關于方程思想的認知結構剛剛構建，多數問題都是“求什么設什么”，但是，隨著數學學習的深入，情況就發生轉變，許多數學問題重在培養學生的思維能力，就不僅僅局限于此，因此要選擇適當的對象設成未知數，力求解決問題的最簡化。

例如:△ABC中，∠A=90€埃螧=60€?，那脺愨个三角形的三边?:2:的關系。一般情況下，設一倍量為x比較簡單。

2.2.2 尋求等量關系

用兩個不同的等式表示同一個量，就得到一個方程，有多少個未知數就要列出多少個這樣的方程。尋求等量關系的過程中，需要根據具體情況挖掘題目中隱含的條件，也就是挖掘題目中沒有明確給出，隱藏在題目中的基本概念，基本性質，定理或生活實際等。

例如:一輛汽車以每小時70公里的速度從A城市開往B城市，隨后用每小時60公里的速度返回。問它在整個行程中的平均速度是多少?

分析:平均速度=整個路程∕行駛時間。題目只給了來和回的速度，并沒有明確給出求平均速度需要的整個路程數和行駛時間數，需要我們自己挖掘隱含條件。(下轉第153頁)(上接第114頁)

2.2.3 構造方程解決問題

有些數學問題尤其是近些年出現的一些綜合題型，其題目難度較大，運用方程思想解決問題可以簡化難度，但運用這種方法并不是很直觀的，對學生的思維能力有較高的要求，需要認清問題的本質，有豐富的聯想能力。

例如:解方程組

分析:將方程組中的一個方程進行變形，用一個未知數表示另一個未知數，代入另一個方程，我們會發現這種循規蹈矩的解法計算繁瑣。觀察這兩個方程的形式，轉念一想，其形狀貌似一元二次方程根與系數的關系，于是，解這個方程組時根據一元二次方程根與系數關系，把方程組中x，y看成一元二次方程z2-32z+231=0的兩根。解這個方程得z1=21，z2=11。所以原方程組的解為。顯然，運用方程思想達到了簡化題目的目的。

2.2.4 回顧檢驗解的合理性

解方程解出的是方程的解，與原問題并不一定吻合，需要具體情況具體解決，檢驗根的最終正確性。

例如:一超市以每3根16元錢的價格購進一批簽字筆，又從另外一處以每4根21元錢價格購進比前一批數量加倍的簽字筆，如果以每3根k元的價格全部出售可得到所投資的20%的收益，求k的值。

分析:可以設超市第一次購進x根簽字筆，則第二次購進2x根簽字筆。根據題意，列出方程:(x+2x)=(x·+2x·)(1+20%)，整理得:xk=，根據實際情況由于x≠0，兩邊除以x，得k=19，于是問題解決。

3 學生利用方程進行問題解決的能力培養

3.1 培養學生具有運用方程思想解題的意識

看起來與代數毫無關系的一些問題，其實是需要運用代數方法，列出方程解決的，發展思維能力，學習解題技巧，挖掘題目中的隱含條件，構建運用方程思想解題的意識，在學習中不斷積累這種解題技巧。

3.2 培養學生正確列出方程的能力

善于挖掘題目中的隱含條件，充分利用已知條件，列出正確的方程，是解題的關鍵，要求學生在做題過程中培養善于觀察，獨立思考的能力。

3.3 培養學生運用方程思想解決問題的能力

解析幾何的軌跡計算問題，一元二次方程根的判別式，根與系數的關系，方程，函數，不等式等內容，運用方程思想解題占著舉足輕重的地位，應在做題的過程中培養方程思想的解題的能力。

3.4 加強發散、收斂思維訓練，培養學生創新思維的能力

創新思維是運用方程思想解決數學問題創新能力的核心，沒有思維的創新就沒有解題的創新。培養學生的創造性思維應該加強學生發散思維的流暢性，變通性和獨創性的訓練。

運用方程思想解題的關鍵是利用公式，定理或已知條件中的已知結論構造方程或方程組。這種思想在代數、幾何以及生活實際中有著廣泛的應用。在國內各省市中考、高考題中經常出現。

參考文獻

[1]G·波利亞.劉遠圖譯.數學的發現(第2卷)[M].呼和浩特:內蒙古人民出版社，1980:127～129.

[2]鮑曼.中學數學方法論[M].哈爾濱:哈爾濱工業大學出版社，2002:34～39.

[3]文慶城.現代化學教學論[M].北京:科學出版社，2009:184～193.

[4]馬復.中學數學思想方法初論[M].合肥:安徽教育出版社，1993:62～66.

[5]呂鳳祥.中學數學解題方法[M].哈爾濱:哈爾濱工業大學出版社，2003:217～220.

[6]徐兆洋，李森.論中小學數學課程中的情景及其作用[J].課程.教材.教法，2010(2):62～66.