一道習題結論的推廣

題目已知 1 a 、 2 a 、 1 b 、 2 b () 0 ∈+∞ ， ，求證: 33 312 1222 212 12()()aa aabb bb++≥+. 這是我校高三數學講義上的一道習題，其證明并不難(過程略) ，令人感興趣的是，對進一步推廣該不等式可以得出很多結論. 1.指數由 2推廣到n命題 1 已知 1 a 、 2 a 、 1 b 、 2 b () 0 ∈+∞ ， ，n∈ *N ，則11 112 1212 12()()nn nnn naa aabb bb+ ++++≥+…(ⅰ) 證明當 1 n = 時，22 212 1212 12() aa aabb bb++≥+ 2222 2112 2 212 1 1 2 12 ()()() abb b abb b a a bb #8660;+++≥+22 2212 21 1212 2 ab ab aabb #8660;+≥ …① 由均值不等式知①成立(當且僅當 12 21 ab ab = 即1212aabb= 時，“=”成立) ，從而不等式(ⅰ)成立. 假設當nk = (k ∈ *N 且 2 k ≥ )時(ⅰ)式成立，即11 112 1212 12()()kk kkk kaa aabb bb++ +++≥+(當且僅當 1212aabb= 時， “=”成立).