一道高考試題的別解

問題的提出 已知函數 32 1()3f x x ax bx =++ ，且 (1) 0 f ′ #8722;= . (Ⅰ)試用含a的代數式表示b ，并求 () f x 的單調區(qū)間; (Ⅱ)令 1 a =#8722; ，設函數 () f x 在 1 x ， 2 x( 12 x x < )處取得極值，記點 11 (()) M xfx ， ， 22 (()) Nx f x ， ，(()) Pm f m ， ， 12 x mx << ，請仔細觀察曲線 () f x 在點P 處的切線與線段MP 的位置變化趨勢， 并解答以下問題: (ⅰ)若對任意的 2 () mtx ∈ ， ，線段MP 與曲線() fx 均有異于M ，P 的公共點，試確定t 的最小值，并證明你的結論; (ⅱ)若存在點 (()) Qn f n ， ， 1 x nm ≤< ，使得線段PQ 與曲線 () fx 有異于P 、Q 的公共點，請直接寫出m的取值范圍(不必給出求解過程) .

本題為 2009 年高考福建理科卷第 20 題，試題函數、導數等基礎知識為載體，考查數學能力和識，注意一題多解，考生可根據自己的思維習慣，不同的思考角度探索解決問題的方法.