離散數學課程教學改革探索與實踐

摘要:離散數學是計算機科學的核心基礎理論課，該課程不但為學生學好后續課程提供數學理論基礎，而且學好該課程有利于培養學生的數學思維。本文結合教學實踐，分析了當前離散數學教學中存在的問題，針對該課程的特點，從教學內容、教學手段和教學方法3個方面對離散數學的教學改革進行了探討，力求使該課程的教學上一個新的臺階。

關鍵詞:離散數學;教學改革;教學方法;教學手段

離散數學是現代數學的一個分支，它從不同的角度出發，研究各種離散量的結構及其相互之間數與形的關系。計算機科學迅速發展，其相關領域提出了許多有關離散量的問題，需要某些數學工具作出描述和深化[1]。離散數學把計算機科學中所涉及到研究離散量的數學知識綜合在一起，其基本理論和研究成果全面系統地影響、推動著計算機科學與技術的發展[2]。學習這門課程，可以培養學生的抽象思維能力和嚴格邏輯推理能力，使學生掌握處理計算機科學離散結構研究所必須的描述工具和方法。但離散數學內容多、概念多、理論性強、抽象、解題方法靈活、解題思路嚴謹、應用廣泛，在實際教學中學生興趣不高，教學效果不理想。因此，改革離散數學教學內容、教學手段和方法等以提高離散數學課程的教學質量，對學生后續課程的學習和科研工作有重要的意義。

1離散數學課程教學中存在的問題

分析離散數學課程的特點，在課程教學實踐中常常存在以下問題:

(1) 離散數學內容豐富，包括數理邏輯、集合論、代數系統、圖論、組合數學等多個彼此獨立的數學分支，離散數學將這些知識有機組合成為合理、完善的體系。這些知識具有或多或少的聯系，但又自成體系，致使學生感覺各部分內容聯系不大，對課程學習的目的不明確。學生甚至覺得這門課程和計算機科學聯系不起來，從而缺乏學習興趣。

(2) 由于離散數學課程內容的廣泛性，其定義和定理特別多，又抽象難懂，學生一時難以理解和記憶，并且對定義和定理之間的聯系缺乏一定的概括能力。

(3) 離散數學授課主要以定理證明和邏輯推理為主，方法性強，但由于內容多、定理多，學生常常對很多解題方法混淆不清。

(4) 離散數學內容多，課時少，一般高校將課時由144學時減少到90或72或64學時。課堂教學大多采用傳統的“黑板+粉筆”教學手段，課堂教學的信息量受到一定的限制;也有采用多媒體教學手段的學校，但在實際教學過程中教師往往過多地依賴多媒體，大多點到為止，學生的思路追不上教師的講課速度，只記住結論或結果，掌握不了方法和思路，這樣的離散數學教學是失敗的[3]。

針對實際教學中存在的問題，主要提出以下改革措施。

2教學內容的有機整合

離散數學內容多，教材各異，但一般都至少包含4個主要部分的內容:數理邏輯、集合論、代數結構和圖論。按“以夠用為尺度，以有利于培養學生解決問題的能力和應用為目的”的原則，我們認為在教學中應以數理邏輯、代數結構和圖論為重點，以圖論為核心，在保證基本理論完整的基礎上，降低抽象推理的難度，本著“精、廣、實用”的原則組織教學內容，對教學內容進行有機的整合。

(1) 注重教學內容的結構化和系統性。整合那些最能體現離散數學基礎知識、聯系實際應用、能培養學生抽象和邏輯思維能力以及解決問題能力的那些內容。注重內容的科學性和先進性，逐步滲透學科研究的前沿知識，充分體現精品課程的先進性。

(2) 注重教學內容的趣味性。教師在授課時可以列舉一些有趣的例子，如“理發師問題”、“哥尼斯堡七橋問題”、“四色問題”等來說明離散數學的用處，以提高學生學習的興趣。

(3) 注重教學內容與后續課程的聯系。計算機科學的發展與離散數學的主要內容有非常密切的聯系，如數理邏輯是研究推理的學科，在人工智能、程序理論、數字電路等研究中有重要應用;集合與關系的內容與數據庫原理、數據結構、形式語言與自動機等課程有密切的聯系;代數結構是研究關于運算及其規則的學科，代數方法被廣泛應用于可計算性與計算復雜性、密碼學、網絡與通信理論等;圖論為數據結構和數據表示理論等奠定了數學基礎和描述方法。教師在授課中應幫助學生認知所學知識與后繼課程知識的銜接，幫助學生建立知識網，使學生體會到所學知識的作用，對所學知識產生興趣。

(4) 離散數學內容多、課時少，因此內容設計應以“夠用”為原則，不僅要涵蓋離散數學所有知識要點，還要確保計算機科學與技術專業學生應有的數學知識、素質和能力。因此，教師要合理分配教學課時，注意各個教學環節教學內容的合理搭配。

(5) 在教學內容中適當加入實驗。例如，要求學生設計實驗求出主析(合)取范式、實現Warshall算法求出傳遞閉包、判斷一簡單圖是否為二分圖或歐拉圖、實現Dijkstra算法等。當然，針對教學時數較少的情況，這些實驗可以在課后完成，不占用上課學時。學生通過對指定實驗題目上機實踐，可以更好地理解離散數學相關知識，并能提高自身分析問題和解決問題的能力。

3教學手段的改進

3.1綜合利用多種教學手段，提高授課質量和效率

傳統教學手段和多媒體教學手段各有優勢和不足，應互補而非對立，我們應避開其缺點，發揚其優點，采用二者靈活結合的多媒體輔助教學方式。如離散數學中有很多的概念、公式和定理由教師在課堂上板書，勢必占用大量寶貴的授課時間，若借用多媒體顯示出來，教師就有更多的時間進行講解，這樣不僅可以加大課堂教學的信息量，還可以將離散數學在計算機各領域中的應用做成專題片給學生演示，使課堂教學生動活潑，大大激發學生的學習熱情。數理邏輯中的推理理論、定理的各種證明方法等不適合用多媒體教學方式，這些知識的講解使用傳統的教學方式能使學生更清楚證明的思路和過程，有助于培養學生的邏輯思維能力和推理能力。教師在教學中應針對不同的教學方法采取不同的教學手段，這樣才能發揮各種教學方法的綜合功能，取得最佳教學效果。

3.2建設網絡課程，利用網絡輔助教學

在計算機網絡飛速發展的今天，網絡技術為突破傳統的教育手段、教育觀念提供了契機，基于以“教師為主導，學生為主體”的教學模式，教學網站作為多媒體教學手段的必要補充，其作用不容忽視。我們將本課程的教學大綱、知識結構、難點、重點以及典型例題的思路、解法和電子教案、考試要求、考試范圍等所有學生關注和能夠幫助學生更加有效進行自主學習的內容都以電子文稿的方式發布到教學網站上，方便學生通過網絡進行自學。還可以將涉及離散數學在各個領域廣泛的應用和離散數學方面的著名科學家介紹放在教學網站上，以增加趣味性，調動學生學習的熱情。當然，在教學網站上還可以增加一些網站鏈接，讓學生了解有關離散數學更多的網站，拓寬知識面。利用網絡學習離散數學網絡精品課程，可以極大地改善教學中存在的問題，為學生提供豐富的網絡資源，方便學生自主學習，有利于學生個性的發揮。

利用多媒體和教學網站輔助教學，不僅是教學模式、教學手段的更新，更重要的是教學觀念的轉化，將多種教學手段引進離散數學課堂進行教學是必然的發展趨勢。

4教學方法的改革

離散數學不同于其他計算機課程的教學，該課程定義多、定理多、理論性強、抽象性強;也不同于數學課程的教學，該課程不能只是片面強調數學演繹推理，教師應充分認識到離散數學是計算機領域的一門課程。因此，要想教好這門課程，對不同的教學內容應采用不同的教學方法，傳統“滿堂灌”的教學方法需要改革。

4.1應用示例教學，培養學生的學習興趣

離散數學知識在計算機專業中的應用或“分散”或“隱含”，可以說是無處不在[4]，但在教學過程中，很多學生對該課程興趣不濃。為了培養學生的學習興趣，在前幾堂課的教學中，教師可以通過一些實際的例子來說明離散數學的用處，如“一筆畫問題”、“四色問題”、“Hamilton回路與旅行商問題”等，讓學生充分認識到離散數學與計算機科學其他課程之間的密切聯系及對計算機科學發展的促進作用。

在課堂教學中，也可以穿插一些適當的問題，以便建立理論和實際工作的聯系。如等價關系和劃分建立了一一對應關系，一般是用模n同余關系[5]作為示例，理論上較嚴謹。在教學中我們不妨考慮生活中的例子，如:定義“人”集合上的關系 有相同的性別。顯然， 是等價關系，于是具有相同性別的人是等價的，據此可以將人劃分為兩類，性別為男性的人構成的集合和性別為女性的人構成的集合。如果要研究人的性別特點，可以從這兩個集合中各選一人(元素)作為代表，這個人所產生的等價類就是他所在的集合，即與他有相同性別的所有人的集合。這樣的示例不僅易懂，而且也能說明對集合進行劃分的目的，體現出對目標進行歸類研究的方法。

4.2使用類比方法教學，降低學習難度

離散數學內容龐雜，但有些看起來不相干的東西，實際上有著驚人的相似之處，在教學中可以采用類比的方法，揭示出它們相同的內涵，找出它們之間的聯系，從而減少學生學習的困難。

例如，在教學內容上可以類比。如命題定律與集合運算律可類比記憶，命題中有析取 、合取 、否定 ，命題邏輯中其他運算可轉化為這三種運算。集合運算有并運算 、交運算 、求補運算～，集合中其他運算也可轉化為這三種運算。我們將 與 、 與 、 與～、全集E與真值T、空集 與真值F類比，發現命題定律與集合運算律除了含義不同外，形式上完全一樣。離散數學中可聯系、能比較的內容較多，有些類比也可以讓學生去做，這樣有助于提高他們的思維能力。

又如，在教學方法上也可以類比。例如命題邏輯與謂詞邏輯兩部分的內容幾乎是平行的，這就為教學提供了可類比的方法，如兩者合式公式的定義形式非常相似，通過類比，兩個概念的異同就顯而易見了，教師只要對量詞加以強調，學生就能在前一個概念的基礎上很好地理解后一個概念。在離散數學中教學方法還有許多是可以類比的，這就要求教師多分析比較，以學生易于接受的生動的方式進行教學。

4.3推行研究型教學方式，培養學生創新思維和綜合能力

研究型教學模式是指融學習與研究為一體的教學體系和方法，其理論基礎是美國學者布魯納提出的“發現學習”教學模式。在教學中通過講解知識的來龍去脈，將學科的基本方法、計算機問題求解應考慮的問題要點、研究方法和思路傳授給學生，引導學生挖掘深層次的東西，培養學生的創新思維和綜合能力。

在研究型教學中，教師的工作是設計“問題”以激發學生思考、設計、總結和報告，問題的選擇和編排是非常重要的，必須難度適中、具備足夠的挑戰性、還應該有利于知識的學習和積累，這樣才能引起學生的學習興趣。此時，學生由被動的學習者轉變為主動學習者。在教學中要鼓勵學生質疑以培養學生分析問題和解決問題的能力，鼓勵學生一題多解以激發學生的創新思維。例如，在命題邏輯中判斷推理是否正確允許學生用多種方法去判斷，如主析(合)取范式、真值表法、等值演算法等多種方法，然后要求學生分析這些方法的利弊，從而思考哪種推理結構采用哪種方法來解。

4.4注重歸納小結，使知識條理化和系統化

離散數學的內容看似多而散，實際上，每一章均有一條主線，因此，歸納小結是教學中一個非常重要的環節。通過教師課堂上或學生課后對所學內容的歸納小結，理清其內在聯系，將這些內容有機地聯系起來，使知識條理化和系統化。同時，歸納小結可加強學生對知識的理解和掌握，達到對所學知識融會貫通、舉一反三的目的。

5結語

離散數學是計算機科學重要的基礎理論課程之一，它的思想和方法滲透到計算機應用的許多領域，所以如何提高離散數學的教學水平和質量，如何為計算機專業后續課程打好基礎，如何培養學生解決問題的能力和科研素質，是值得教師在教學實踐中不斷研究的課題。教學改革和探索是沒有止境的，今后，我們還需要在離散數學課程教與學的實踐過程中不斷探索、集思廣益，合理調整教學內容、改進教學手段和教學方法，使離散數學課程教學質量和水平不斷得到提高。

參考文獻:

[1] 許蔓苓. 離散數學的方法和挑戰[J]. 計算機研究與發展，2002(12):1771-1772.

[2] 孔凡清. 改革教學方法提高“離散數學”的教學質量[J]. 中國電力教育，2009(3):119-120.

[3] 王俊. 試談離散數學多媒體教學[J]. 信息與教學，2008(6):217.

[4] 王強. “離散數學”的教學體會與實踐[J]. 內蒙古師范大學學報:教育科學版，2004，17(5):66-67.

[5] 屈婉玲，耿素云，張立昂. 離散數學[M]. 北京:高等教育出版社，2008.

Exploration and Practice of Discrete Mathematics Teaching Reform

WEN Hai-ying1， LIAO Rui-hua2，WEI Da-kuan1

(1.Computer and Information Scientific Department， Hunan University of Science and Engineering ，

Yongzhou 425000， China; 2. Hunan First Normal University， Changsha 410205， China)

Abstract: Discrete Mathematics is the core foundation theory course of computer science. The course will not only offer basic mathematical theory for students to learn follow-up courses， but also help develop the mathematical thinking of computer science students. In combination with teaching practice， this article analyses existing problems in Discrete Mathematics teaching. It also discusses the teaching reform of \"Discrete Mathematics\" in three aspects:teaching content， teaching approach and teaching methods on the basis of the characteristics of this course and strives to make the teaching of this course to a new level.

Key words: Discrete Mathematics;teaching reform;teaching approach;teaching method

(編輯:姚彥如)