兒童早期數學單位概念的發展

[摘要]數學單位概念是兒童認知發展研究的重要課題。國內外有關兒童早期數學單位概念的研究主要涉及三個方面：數學單位概念的內涵；兒童早期對數學單位的重復性、單位大小與數量間的反函數關系以及單位選擇合適性的理解；單位概念的發展與其他數學能力發展的關系。這些方面的研究既取得了諸多成就，也存在一些不足，今后仍需對數學單位概念的內涵，多個情境中兒童數學單位概念的理解，兒童數學單位概念的發展與其他數學能力發展的關系及意義加強研究。

[關鍵詞]兒童早期；數學單位概念；非標準測量能力；分數學習

單位概念是數學的邏輯起點，是兒童數學認知的基礎，也是兒童進行數學思維的核心。數學單位概念的形成和發展在兒童早期發展中占有重要的地位，因此，兒童數學單位概念的發展一直是心理學中認知發展研究的一項重要內容。單位概念作為數學最基本的概念之一，自皮亞杰等人對概念的守恒性進行研究以來，便成為兒童認知發展研究的重要課題。

本文將根據現有國內外的相關研究，從數學單位概念的內涵，兒童對單位特征的理解以及兒童單位概念的發展與其他數學能力的關系等方面對有關兒童早期數學單位概念發展的研究進行梳理與分析，目的在于總結已有研究成果，并找出以往研究中尚未解決的問題，從而為后續研究提供方向和路徑。

一、數學單位概念的內涵

從數學發展的歷史來看，單位曾被定義為具有可以被看成是“1”的特性的事物，因此歐幾里德認為數字就是“許多單位”。隨著數學的發展，現今可作為數學單位的已不僅是平常所認為的單獨物體或個體的概念，單位也可能是包含兩個或更多個體的物體，比如一副眼鏡、一雙鞋子等。

以往關于兒童早期數學單位概念發展的研究，由于研究問題的角度、方法不同，對單位概念至今還沒有形成一種確切、嚴謹，且被一致接受的科學內涵。克雷恩指出，單位可以分為數量單位(a unitof quantity)和測量單位(a unit 0fmeasure)兩種?！瓟盗繂挝灰詳禂岛驼麛涤嬎銥榛A，測量單位以測量和有理數計算為基礎，兩者在根本上是不同的，正如數數和測量是兩種完全不同的活動一樣。索菲安認為單位概念包括兩個最核心的方面，一為單位的基本概念，另一為單位的合成概念?；靖拍钍侵竷和瘯\用合適的數量單位(unit ofquantification)，并知道運算的結果，包括長度、面積、體積、質量、數等方面的單位；合成概念是指一個單位既可以合并成為高階單位(higher-order)，也可以拆分為低階單位(10wer-order)。

根據已有研究可以得出，兒童早期發展的數學單位概念的內涵主要包括兩個層面：一是計數的單位，如以“10”為計數單位的十進制計數法是兒童理解數字、學習數數的基礎；…一是測量用的單位，兒童早期主要發展的是非標準測量單位的概念，如由小棍、紙條等自然物形成的有關測量的關鍵概念。

二、兒童早期對數學單位概念的理解

對兒童數學單位概念的研究最早m現在兒童測量概念的研究中。皮亞杰等人通過廣泛的研究認為測量單位的守恒是年幼兒童理解測量時必須掌握的認知能力之一。在皮亞杰之后，兩位前蘇聯研究者加爾佩林(Gal，perin)和喬治耶夫(Georgiev)對兒童的測量概念及測量能力進行了深入的探討，并關注單位的作用，進而推動了對兒童數學單位概念發展的研究。

(一)單位的重復性

單位的重復性主要是指對通過單位的重復以測得物體長度或面積的理解，該概念以傳遞推理為基礎，是兒童學習長度測量所必備的概念及能力。在測量時，兒童需要在心理上或實際操作中把被測物體分成相等的單位，然后通過重復“擺放”該單位，根據單位重復的數量總和判斷被測物體的總長度或總面積。正確的單位重復，要求在重復單位時單位之間既不留空隙也沒有重疊。

兒童早期測量物體長度或面積時使用的是非標準的測量單位，如積木、紙夾等。兒童最初總是在單位之間留有空隙，甚至把相鄰的兩個單位重疊在一起。這可能與兒童在4歲前難以形成非標準單位有關，151即使是小學階段的兒童，對單位的重復的理解也不是一件容易的事。

克萊門茲等人通過研究認為，單位重復性的概念是兒童理解二維面積測量的重要基礎。兒童可以通過單位的重復逐漸形成陣列結構(structure an array)的概念。如果兒童能把用于測量長方形面積的、不斷重復的非標準單位整合成行或列，且能一行一行地或一列一列地數對單位，那么就有可能具備陣列結構的概念。這時兒童才有能力理解長方形尺寸是由行與列中的非標準測量單位數所決定的以及可以通過行與列計算長方形面積的規則。

研究還發現，兒童早期數數也需要單位重復的概念。兒童到了學前后期，開始采用“2”“5”等數數單位，即兩個兩個數和五個五個數的方式。這種運用非單個數的數數單位進行數數的方式，對兒童數學單位概念的發展具有十分重要的意義，能夠使兒童認識到單位大小與數量間的反函數關系等。不過有關兒童早期數數單位概念發展的研究目前并不多見。

(二)單位大小與數量間的反函數關系

單位的大小及其數量間的反函數關系作為兒童理解數學單位概念的重點和難點，一直都是兒童單位概念發展相關研究的主要內容。已有研究主要是在量的判斷和測量等情境中了解兒童對兩者關系的理解。

很多研究表明，年幼兒童在比較和判斷物體量的時候，往往會嚴重依賴單位數量，而忽略單位的大小。例如，把液體或粘土分成相等的若干份，由于液體或粘土的份數變多了，兒童會認為液體或粘土的總量變多，他們難以認識到，事實上每一份液體或粘土的量都變小的事實。又如，在對前蘇聯6.5～7歲多兒童覺知單位大小變化的研究中，即便研究者用大小不同的兩種匙子舀出總量相等的米，由于小匙子舀出的米堆數更多，大多數兒童會認為小匙子舀出的米更多。在研究兒童比較總量相等的集合時也發現，兒童常常認為包含較小單位的集合，其總量更大，原因是該集合的單位數量更多。這種錯誤即使在小學低年級兒童中也常常出現。

研究兒童在測量任務中對單位大小和數量間關系的理解時，研究者也得到了同樣的結論。在一項針對小學一、二年級兒童進行的有關測量概念的測查中，研究者發現，只有一半兒童能夠理解單位大小的變化會影響到測量結果。近年來，我國研究者也對兒童理解單位大小與數量的關系進行了研究，并得出了相類似的結果。

研究者還在其他任務情境中進行了研究，例如平分任務。兒童在平分任務中也偏重考慮單位物體的個數，而忽略單位物體的大小。多數兒童認為，即使平分后每一份物體的量不相等，但只要每一份所得物體的個數相等就可以了?？吕麃?correa)進一步發現，5歲前的兒童把一定量的物體平分為幾份后，無論具體的份數是多少，他們都判斷平分后每一份的物體量是一樣多的。這是由于絕大多數學前兒童可能受到自身感知局限性的影響，對單位大小與數量間的反函數關系存在錯誤理解。正如皮亞杰所說的那樣，處于前運算階段的兒童只能關注到事物的一個維度，不能同時考慮單位大小和單位數量兩個維度，難以對這兩個維度的信息進行整合，這可能是導致兒童完成各種情境任務時出現錯誤的內在原因。

但也有一些研究表明，學前兒童已經有能力發現單位大小和數量間的反函數關系，最小的年齡可能出現在3～4歲左右。如讓兒童通過實際操作，比較把一個量按照不同方法分成若干相等部分后的各種結果，他們就能很快地了解各個小部分的數量與其大小之間的反函數關系。因此研究者認為，以往研究中年幼兒童大多關注單位數量的事實并不能說明兒童難以正確理解單位的意義，這一點還有待進一步的研究。

(三)單位選擇的合適性

所謂單位選擇的合適性，是指根據具體的情境，選擇合適的單位解決問題。例如，數數情境中問題不同，合適的數數單位也會不同，可以是單個物體，也可以是多個物體，而在測量情境下，一次測量只能選擇一種合適的單位，即在測量時只能使用大小相同的單位。

已有研究發現，雖然4歲兒童可能已經具備關于單位意義的概念，但難以根據問題情境選擇合適的單位。在數數情境中，兒童在5歲前大多會把一個分成兩半的雞蛋看成是兩個雞蛋。因為年幼兒童普遍存在“單個物體的偏見”，即更傾向于以單個物體(如一片雞蛋殼)為單位，而難以從數單個物體遷移到數區別于單個物體的由多個物體形成的單位。研究者還發現，只有當兒童能夠把許多離散物體看成是一個單位物體時，他們對量的推理能力才可能有重大的進步。這個發展轉折期可能出現在4～5歲。

在測量情境中，兒童難以理解在一次測量時不能同時混用兩種不同大小的單位。一項對72名中國兒童進行的研究顯示，絕大多數兒童在7歲前不能真正理解使用相同測量單位的必要性。我國研究者史亞娟等認為，使用大小相等的單位是準確測量并準確報告測量值以及對不同測量值進行正確比較的前提和基礎。兒童理解測量時必須使用合適單位的前提正是兒童對測量單位大小與數量之間反函數關系的理解。在測量情境中的其他研究還表明，兒童測量面積時往往會選擇外形看起來和被測對象較相似的非標準單位，如選擇磚塊覆蓋長方形。

三、兒童早期單位概念的發展與其他數學能力發展的關系

單位概念是數學基本概念，兒童早期對單位概念的理解及運用對兒童數概念及數學能力的發展具有十分重要的作用。加爾佩林和喬治耶夫曾提出，“掌握單位的初步概念……是兒童形成基礎算術概念的最為重要的一步，所有基本的算術概念都是以單位概念為基礎的”。很多研究者持相同的觀點，如拉蒙(Lamen)指出，單位以及不同類型單位之間的關系與數學學習中的賦值、乘法、分數等都有聯系。因此，如果兒童不能掌握數學單位的基本概念及特征，他們在后面的數學學習中就有可能遇到困難。

(一)單位概念與分數學習

單位概念的發展在兒童學習分數的過程中具有十分重要的意義。如果兒童在理解單位概念時有困難，那么在建構分數意義時就會出現問題。例如兒童在認識分數時常常認為，分數的分母增大，其值也變大，而不是變小。這與兒童難以理解單位大小與數量間的反函數關系有關。索菲安(Sophian)認為，兒童是通過數數的方式來確定單位的數量的，因此兒童的數數能力與兒童對單位大小與數量間關系的認識顯著相關。由于兒童知道數序在后的數比數序在前的數大，而當單位數量增多時，實際上分數反而變小了，如3比2大，但1／3比1／2小，因此兒童對單位大小和數量間關系的錯誤認識會影響兒童正確地認識分數。另外，兒童認識等值分數概念也需要以單位概念為基礎。例如兒童要理解1／4=4／16，首先需要找到合適的新單位(1／16)，并將這些小單位重新組合(4個1／16就是1／4。即4／16)，才可解決這類問題，因此單位形成能力是兒童解決等值分數問題的關鍵。

另有研究者提出，反復的測量操作可以促成兒童對單位概念的理解，特別是用大小不同的單位進行測量，可以為分數的學習提供經驗。如果兒童用一種強調單位概念理解的方式學習整數，那么他們在解決涉及分數的問題時可能就不會出現困難了。

(二)單位概念與測量能力

單位概念是兒童學習測量時需要掌握的重要概念。皮亞杰等人關于兒童測量的眾多研究指出，5～7歲的兒童在學習測量特別是運用測量單位進行疊加性測量的時候會有困難，只有當兒童能夠理解和掌握長度守恒之后才可學會測量。也就是說，皮亞杰和繼承皮亞杰觀點的學者們都認為，兒童大約在7～8歲期間才能對物體進行有效的測量，并掌握測量單位的概念。單位概念的理解水平會隨著兒童年齡的增長以及一般認知能力的發展逐漸提高。

但是近年來，國內外越來越多的研究者得出了與皮亞杰不同的結果，他們發現守恒的獲得并不是測量能力發展的起點。于是，研究者們突破“守恒概念”的研究框架，日益重視解釋兒童在獲得守恒概念之前測量單位的發展特點。例如柯普蘭(Copeland)發現兒童在6歲半的時候開始理解測量單位的概念，但那時還不能完全達到守恒；索菲安(Sophian)和米勒(Miller)都認為，結合具體的情境，采用適當且明確的測量過程，即使是只有3歲的兒童也能夠獲得與測量相關的單位概念的經驗。

作為兒童早期掌握的測量能力之一，非標準測量是研究者考察學前兒童數學單位概念發展的重要內容。研究表明，兒童早期的非標準測量能力在3～4歲時得到快速提高，到4歲時已經能夠成功地運用非標準測量單位，并運用推理的傳遞性比較兩個物體的長度。但是，兒童運用非標準單位測量的能力有限，在具體測量時如果提供了視覺信息，兒童常常更傾向于選擇運用目測的方法。在兒童運用非標準單位測量二維面積的操作中，由于年幼兒童還沒有掌握一個固定且具體的單位概念，他們在運用單位通過迭加加工的方式進行面積量化時，可能會出現失??；但隨著年齡增長，有更多的兒童能夠形成并應用非標準測量單位，并用測量單位的數量表示測量的結果。

目前關于單位概念與測量能力的關系，大多數研究者認為只有兒童具備單位概念，才能運用非標準測量單位進行非標準測量；并且，兒童這種早期非標準測量的能力能夠為兒童學會運用標準單位測量物體做好準備。但是，克萊門茲(clements)對于非標準測量單位在兒童后期測量能力發展中的作用持不同的意見。他認為，早期強調各種非標準測量單位，可能會干擾兒童對一些基本測量概念的理解。

四、以往研究中存在的問題和今后的研究方向

回顧以往關于兒童早期數學單位概念發展的研究，對單位大小與數量間反函數關系的理解是研究的主要內容。已有研究均表明，兒童早期會忽略單位的大小，嚴重依賴單位數量。對于兒童理解這一單位特征的年齡，以往研究得出的結果很不一致。大多數研究認為兒童在學前期是難以掌握這一概念的，甚至在入學后的最初幾年，仍有一部分兒童難以理解。但是索菲安等人的研究卻推翻了這一結論。她們通過在實驗過程中進行短暫的干預，讓3～4歲的兒童對材料進行操作后，再對兒童的理解情況進行考察，得出的結果證明，即使是3～4歲的兒童通過操作也能夠很快了解單位大小與數量間的反函數關系。這個研究存在的問題是兒童正確回答問題的原因究竟是兒童對操作結果的比較和記憶，還是兒童已經真正理解了這一概念。如果讓這些兒童在不同的情境下回答這類問題，他們還能正確理解嗎?另外，以往對此問題的研究結果存在如此大的差異，根本的原因是現有研究本身的不足，未能充分重視兒童在不同情境中對單位大小與數量間反函數關系的理解可能存在的年齡差異。

單位選擇的合適性在以往研究中，主要包括在數數情境中兒童能否根據問題要求選擇合適的數數單位和在測量情境中兒童是否理解測量時使用相等大小單位的必要性兩個內容，一般通過口頭報告的形式予以考察。這樣的研究方法主要存在的不足之處在于，在數數情境中要求兒童首先理解問題涉及的各種數數單位，如一個物體或一類物體，如果年幼兒童難以理解這些單位，那么兒童錯誤地數數可能并非由于兒童尚未具備選擇合適單位的能力造成的。另外，在測量情境中的研究也存在口頭報告的缺陷。兒童雖然能夠準確地選擇相等大小的單位進行測量，但兒童卻難以清楚地說明不能同時使用不同大小單位進行測量的理由，這既可能是由于兒童還不理解單位選擇的合適性，也可能是受到兒童自身語言表達能力的局限所致。

以往對兒童早期數學單位概念的研究，往往只涉及單個的單位特征，對各個單位子概念之間關系的研究非常少見。雖然有些研究對其進行了討論，如有研究者指出，兒童對測量單位大小與數量間反函數關系的理解，是兒童理解測量情境中必須使用相等大小單位的前提，但是目前在這方面的實證研究還很缺乏。另外，以往研究對早期數學單位概念的內涵也沒有一個一致的看法，有的把數學單位分為數量單位和測量單位兩種，有的則把這兩者歸為一個概念。由于以往研究對數學單位的變量較少進行區分，因此對數學單位的核心概念及其對兒童理解數學單位的作用也尚不明確。

除此之外，以往研究已經在不同的數學情境(如測量情境、數數情境、平分情境)中對兒童早期數學單位概念的發展進行了研究，且大多只側重單一情境中兒童單位概念的發展，很少對多個情境中兒童理解數學單位概念進行考察和比較，因此對兒童單位概念的理解是否會受到不同情境的影響而有不同的表現，以及在不同情境中兒童單位概念水平的相互關系還不得而知，從而難以全面系統地了解兒童早期數學單位概念的發展規律。

綜上所述，今后的研究首先應當明確早期數學單位概念的內涵，對早期數學單位概念的特征及核心概念進行研究，并了解這些核心概念之間的關系。其次，在多個情境中對兒童數學單位概念進行綜合性的考察，以全面了解兒童早期數學單位概念的發展特征和規律。再者，兒童數學單位概念的發展與其他數學學習能力發展的關系及意義也是今后研究應加強的內容。最后，以往研究中尚未解決的問題，如兒童理解單位大小與數量間反函數關系的年齡特征，考察兒童理解單位選擇合適性的科學方法等，都是今后值得進一步研究的問題。