建議不要再提函數三要素

【中圖分類號】G632 【文獻標識碼】A 【文章編號】1002-2139(2009)-17-0251-01

函數三要素的提法可謂由來已久、深入人心，以至老師和學生一提函數就想到它的三要素，似乎它們是不可分割的一個整體，缺一不可。這其實是一個容易導致誤解的提法，雖然在歷史上有它產生的淵源和合理性，但是隨著函數概念的發展，“三要素”已經不再適合作為一個統一的稱謂，它甚至成為認識函數的一個干擾因素。所以，筆者建議不要再提“函數三要素”，具體原因如下:

一.何謂“三要素”

“函數三要素”是指函數的定義域、值域和對應法則。另兩個類似的提法可以類比一下:數軸的三要素:原點、正方向和長度單位;力的三要素:大小、方向和作用點。這里所說的三要素，有一個明確的特點，那就是所說的三要素是一個都不能少的，少了任何一個都不能把所述概念確定下來。比如數軸，三個要素缺少一個就不再是數軸;力，三個要素缺少一個也不再能確定這個力。

反觀函數，它并不如此。三要素確實是函數所固有的，但并不是缺一不可。一個函數只要它的定義域和對應法則確定了，這個函數也就完成確定了，而不需要再把它的值域寫出來(我們的習慣也正是如此)

二.“函數三要素”的歷史淵源

人類對函數概念的認識經過了漫長的過程(大約300年)，這也是一個不斷拓展與深化的過程。從伽利略在研究運動的過程中產生函數的萌芽，到萊布尼茲明確提出“函數(function)”的名詞，再到伯努里、歐拉，函數都停留在形式定義階段。伯努里是把函數當作曲線來研究的，在他眼里，函數就是任意描繪的曲線。稍后的歐拉則在《無窮小分析引論》的開頭，把函數定義為:一些常量和變量，通過任何方式形成的解析表達式。并認為兩個函數不同只是因為它們的表達式不同。

從這些定義可以看出，它們所強調的都是函數中“對應法則”，不管是曲線還是表達式，只是給出了兩個變量之間的對應關系而已。這當然與現在中學里的函數概念有著很大的不同，比如它們并不排除多值對應(即一個自變量值對應多個函數值)，也不考慮函數的定義域和值域。因此，函數概念在他們手里還沒有完全明確，這為函數性質的進一步研究帶來了很大的不確定性。

直到康托爾集合論的誕生，映射的概念成為數學的專業術語，才真正為現代意義下函數概念的確立提供了條件。然而映射意義下的函數概念在開始時卻是這樣定義的:

如果A、B是兩個非空的數集，f是從A到B滿射，則稱f是定義在A上的函數，A叫做函數的定義域，B叫做值域。由此函數三要素可用圖示如下:

由此定義可清晰看出函數所具有的三個不可或缺的因素，即圖中的定義域、值域和對應法則——這正是函數三要素最初的來源。而且，根據函數的這一定義，三要素確實是缺一不可。在此情況下，反復強調“函數三要素”不但是合理的，而且對于認識函數概念很有幫助，其稱謂的流行也就是自然而然的事情了。

但是，歷史發展到今天，函數的概念再次發生了變化。請看現在正在使用的高中《數學》教科書的說法:

如果A，B都是非空的數集，那么A到B的映射f:A→B就叫做A到B的函數，記作y=f(x)，其中χ A， y B。原象的集合A叫做函數y=f(x)的定義域，象的集合C(C B)。叫做函數y=f(x)的值域。(見文[1]P。51。黑體字為原書所有——作者注)

該定義已經不再限定函數必須是A到B的滿射，函數的值域當然也就不一定是B，而可以是B的一個子集(課本上用C表示)，這可以由定義域A和對應法則f完全確定。因此，值域已經不再是確定函數的一個因素，而是反過來被函數所確定，再把它和定義域及對應法則相提并論已經不合適了。

三.統稱“函數三要素”對教學有干擾作用

本來，“函數三要素”也只是一個約定俗成的說法，大家都認可的稱呼何必要認為地去廢止它呢?

因為函數在高中數學中所具有的極端重要性，它在平時的教學中有極高的再現率。“函數三要素”的提法，不但已經過時，而且已經產生了一定的負面影響，對老師和學生的思想認識和解題行為有一些誤導。

比如，怎樣判斷兩個函數是否為同一個函數?有的人就回答為:看它們的三要素是否相同，并在解題時去求兩個函數的值域。這就是不正確的觀念導致的不恰當的解題行為。盡管這種錯誤不是非常嚴重，還是應該引起注意。再看如下例子:

例1. 函數y=χ (χ>0) 與y=χ (χ>1)是同一個函數嗎?為什么?

不恰當的答案:不是同一個函數，因為它們的值域不同。

分析:值域卻是不同，但那是來自于定義域的不同。此回答本末倒置。

正確答案為:不是同一個函數，它們的定義域不同。

由此，筆者建議我們在平時的教學中，還是應該避免“函數三要素”的提法。

參考文獻:

[1]古今數學思想，(美)克萊因著，江澤涵等譯，上海科學技術出版社1979.8第1版

[2]全日制高級中學教科書(實驗修訂本。必修)《數學》2一冊(上)，人民教育出版社，2000年3月2版