漫談小學數學思想及其在教學中的滲透

摘要:數學思想是從某些具體數學認識過程中提煉和概括，在后繼的認識活動中被反復證實其正確性，帶有一般意義和相對穩定的特征。在小學數學教育中有意識地向學生滲透一些基本數學思想方法是提高學生數學能力和思維品質的重要手段，是數學教育中實現從傳授知識到培養學生分析問題、解決問題能力的重要思維活動，且它本身也蘊涵了情感素養的熏染。這點也是新課程標準充分強調的。

關鍵詞:數學思想 滲透 符號思想 類比思想 分類思想 方程與函數思想 建模思想

【中圖分類號】G622 【文獻標識碼】A 【文章編號】1002-2139(2009)-17-0247-01

一、符號思想

西方較早地在數學研究中引進了符號，十六世紀數學家韋達對數學符號作了很多改進，并且第一個有意識地系統地用字母表示已知數、未知數及其乘冪，帶來了代數學研究的重大拓展，奠定了符號代數的基礎，后來大數學家笛卡兒對韋達使用的字母又作了改進。用符號化的語言(包括字母、數字、圖形和各種特定的符號)來描述數學的內容，這就是符號思想。在數學中各種量的關系，量的變化以及量與量之間進行推導和演算，都是用小小的字母表示數，以符號的濃縮形式來表達大量的信息，如乘法分配律(a+b)×c=a×c+b×c，這里的a、b、c不僅可以表示1、2、3，也可以表示4、5、6、7……長方形的面積計算公式s=a×b，不管世界上有多少個不同的長方形，都可用它計算出來。又如在“有余數的除法”教學中，最后出現一道思考題:“六一”聯歡會上，小明按照3個紅氣球、2個黃氣球、1個藍氣球的順序把氣球串起來裝飾教室。你能知道第24個氣球是什么顏色的嗎?解決這個問題，學生可以有多種方法。

二、類比思想

數學上的類比思想是指依據兩類數學對象的相似性，有可能將已知的一類數學對象的性質遷移到另一類數學對象上去的思想，它能夠解決一些表面上看似復雜困難的問題。就遷移過程來分，有些類比十分明顯、直接、比較簡單，如由加法交換律a+b=b+a的學習遷移到乘法分配律a×b=b×a的學習;而有些類比需在建立抽象分析的基礎上才能實現，比較復雜。

目前，小學數學教材中類比思想的內容很多，雜志上發表得較多的某些定理，問題的延伸，推論，拓廣也是類比思想的反映，這就要求教師去發掘去實施，如長方形的面積公式為長×寬=a×b，通過類比，三角形的面積公式也可以理解為長(底)×寬(高)÷2=a×b(h)÷2。類似的，圓柱體體積公式為底面積×高，那么錐體的體積可以理解為底面積×高÷。類比思想不僅使數學知識容易理解，而且使公式的記憶變得順水推舟得自然和簡潔，從而可以激發起學生的創造力，正如數學家波利亞所說:\"我們應該討論一般化和特殊化和類比的這些過程本身，它們是獲得發現的偉大源泉。\"

三、分類思想

數學中每一個概念都有其特有的本質特征，它又是按照一定的規律擴展變化的，它們之間都存在著質變到量變的關系。要正確的認識這些概念，就需要具體的概念依據具體的標準具體分析，這就是數學的分類思想，是指按某種標準，將研究地數學對象分成若干部分進行分析研究。

一般我們分類時要求滿足互斥，無遺漏、最簡便的原則。如整數以能否被2整除為例，可分為奇數和偶數;若以自然數的約數個數來分類，則可分為質數、合數和1。幾何圖形中的分類更常見，如學習\"角的分類\"時，涉及到許多概念，而這些概念之間的關系滲透著量變到質變的規律。其中幾種角是按照度數的大小，從量變到質變來分類的，由此推理到在三角形中以最大一個角大于、等于和小于90°為分類標準，可分為鈍角三角形、直角三角形和銳角三角形。而三角形以邊的長短關系為分類標準，又可分為不等邊三角形和等邊三角形，等邊三角形又可分為正三角形和等腰三角形。不同的分類標準會有不同的分類結果，從而產生新的數學概念和數學知識的結構。 由于分類討論，一則在學習數學的過程中，學生潛移默化地受到了辨證唯物主義思想的啟蒙教育;又一則對學生能力有明顯的區別功能，再加上現實世界需要分類研究的普遍性，作為一種數學思想必然會引起人們的重視。

四、方程和函數思想

在已知數與未知數之間建立一個等式，把生活語言“翻譯”成代數語言的過程就是方程思想。笛卡兒曾設想將所有的問題歸為數學問題，再把數學問題轉化成方程問題，即通過問題中的已知量和未知量之間的數學關系，運用數學的符號語言轉化為方程(組)，這就是方程思想的由來。

在小學階段，學生在解應用題時仍停留在小學算術的方法上，一時還不能接受方程思想，因為在算求解題時，只允許具體的已知數參加運算，算術的結果就是要求未知數的解，在算術解題過程中最大的弱點是未知數不允許作為運算對象，這也是算術的致命傷。而在代數中未知數和已知數一樣有權參加運算，用字母表示的未知數不是消極地被動地靜止在等式一邊，而是和已知數一樣，接受和執行各種運算，可以從等式的一邊移到另一邊，使已知與未知之間的數學關系十分清晰，在小學中高年級數學教學中，若不滲透這種方程思想，學生的數學水平就很難提高。例如稍復雜的分數、百分數應用題、行程問題、還原問題等，用代數方法即假設未知數來解答比較簡便，因為用字母x表示數后，要求的未知數和已知數處于平等的地位，數量關系就更加明顯，因而更容易思考，更容易找到解題思路。

現代數學思想方法的內涵極為豐富，諸如還有集合思想、極限思想、優化思想、統計思想、猜想與證明等等，小學數學教學中都有所涉及。我們廣大小學數學教師要做教學有心人，有意滲透，有意點撥，重視數學史的滲透，重視課堂教學小結，要以適應小學生年齡特點的大眾化、生活化方式呈現教學內容，讓學生通過現實活動，主動參與、自主探究，學會用數學思維方法提出問題、分析問題、解決問題，從而讓學生的數學思維能力得到切實、有效地發展，進而提高全民族的數學文化素養。

參考文獻:

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