《工程熱力學》教學心理一則

摘要:從系統對外界做微功的表達式dw﹦pdv，以類比的方法從dq﹦Tds給出狀態函數熵S的概念。之后再導出熵方程ds﹦dq/T，并討論孤立系統的熵增原理。采取這樣的教學方法，可以收到較好的教學效果。

關鍵詞:熱力學 熵 教學

【中圖分類號】G712 【文獻標識碼】A 【文章編號】1002-2139(2009)-17-0246-01

“熱力學”中關于熵的概念及其應用直接聯系到熱力學第二定律、可逆與不可逆過程、熱力過程的方向性及做功能力的損失等一系列內容。這是教學過程的重點，也是難點。傳統教材中多是采用數學論述的方法，引用高等數學中線積分的概念來推導有關結論，這樣更增加了其抽象性。為了提高教學的效果和質量，本文旨在對這一部分內容的教學方法進行專門的探討，以求盡量避免復雜的數學推導過程，以簡明的方法學生抓住問題的實質。

一 狀態參數熵的引出

作功和傳熱是能量仁慈的兩種基本形式，對于簡單可壓縮熱力系統，功是由于系統與外界之間存在壓差而通過系統邊界傳遞的能量，而熱則是由于系統與外界存在溫差而傳遞的能量。引起功交換的原因是系統和邊界之間的壓差，作功的結果是使系統的邊界發生位移，即容積發生變化。相比而言中，引起熱交換的原因是系統與外界之間的溫差，那么熱交換的結果又是什么呢?

對于簡單的可壓縮系統，已經知道在可逆過程中，熱力系與外界交換的容積功可用兩個狀態參數壓力p和比容v來描述，即

dw﹦pdv或w﹦∫12pdv

式中的P是作功的推動力，比容V的改變標志作功的結果;對比作功量，熱交換量的大小理應也有兩個類似的狀態參數來描述，在熱傳遞過程中，溫度T是傳熱的推動力，相應地應有一個狀態參數，它的改變標志著熱交換的結果，這一狀態參數我們定義為“熵”。對比功的表達式，在可逆過程中的傳熱量q可用下面的數學式表示:

dq﹦Tds或q﹦∫12Tds

由此可得熵的數學定義式

ds﹦dq/T或s﹦∫12dq/T

也就是說，熵是可逆過程中熱交換量與當時的絕對溫度T的比值。

二 熵方程的引出

如圖1，在溫度為T的環境中有單位質量的氣體在氣缸中作不可逆膨脹，從環境(相當于熱源)吸收熱量dq，作功dw，則由熱力學第一定律有:

今若想象氣體在氣缸中實施另一可逆過程，它的初終態與原不可逆過程相同，此時從環境T吸熱δq，作功δw，則

δq﹦du+δw(2)

因這是一可逆過程，故有

δq﹦Tds (3)

δw﹦pdv (4)

由式(2)，(3)有

Tds﹦du+δw

δw與dw之差為不可逆過程中損失的功，用δw’來表示，有

δw﹦δw’+dw (5)

由式(1)，(4)，(5)可得

Tds﹦du+δw’+dw﹦δq+δw’ (6)

因為這兩過程均是從同一初態過渡到同一終態，兩者的熵變量是相等的。式(6)中的ds同時表示兩個過程熵中的微小變化量。由式(6)有:

ds﹦dq/T+δw’/T

此式說明:對于任意不可逆過程而言，引起熵變化的原因有兩個方面:一是由于系統和外界交換了熱量dq;二是由于不可逆因素引起功的耗散δw’。

將由于系統與外界發生熱量交換而引起的熱力系統的熵的變化稱為熱流引起的熵流dsf;而將由于功的耗散引起的熱力系統熵變化稱為不可逆因素引起的熵產dsg，即

dsf﹦dq/T

dsg﹦δw’/T

所以任意不可逆過程的總熵變為熵產與熵流之和，即

ds﹦dsf+dsg

此即熵方程。

三 熵增原理

由前述熵方程可得

ds-dq/T﹦δw’/T

由于任何實際過程都是不可逆的，都會引起功的損失，導致熱力系統熵的增加，這是一切不可逆過程的一般屬性，故熵產

dsg﹦δw’/T

永遠是大于零的，所以

ds-dq/T﹥0或ds﹥dq/T

對于理想可逆過程中，由熵的定義式有

ds﹦dq/T

綜合上兩式有

ds≥dq/T或s≥∫12dq/T

式中等號適用于可逆過程，不等號適用于不可逆過程，它表示可逆過程中的熵變等于加入的熱量與溫度T比值的積分;不可逆過程中的熵變大于加入的熱量與溫度T比值的積分。此即為熱力學第二定律的數學式。

將上述不等式應用于孤立系統，由于孤立系的dq=0，所以

dsi≥0

這就是孤立系統的熵增原理。它說明孤立系的熵只會增加(發生不可逆變化時)或保持不變(發生可逆變化時)，而不能減小。孤立系統的熵增大小，表示了系統內發生了不可逆變化而引起的機械能損失的大小。

四 結論

上述研究方法的基本思路如下:

1. 通過熱力與功的類比，引出狀態參數熵。功的概念及計算方法是同學們較為熟悉的內容通過作功與傳熱過程的原因與結果的對比，引出熵的概念，這樣能讓同學們認識到熵是為了分析過程的熱量交換情況而引入的，能幫助學生更好地掌握可逆過程中熱量的計算方法。特別是通過進一步引入溫熵圖，能讓學生明白圖形分析法在熱力學中的重要性。

2. 對可逆過程和不可逆的能量對比分析，由熱力學第一定律引出熵的方程，得知在不可逆過程中

ds﹦dq/T+δw’/T

在可逆過程中

ds﹦dq/T

即在不可逆賽程中，由于不可逆因素的存在使系統的熵增比可逆過程中大了δw’/T，它的大小反映了不可逆程度的大小。此即熵增的本質:熵增的大小反應了不可逆過程中能量損失的大小。通過這樣的對比引出熵方程、熵增原理，能使學生更容易理解引入熵概念的目的是為了通過分析熱力過程的熵來得知過程的能量損失情況，以尋求提高能量轉化效率的途徑。

前述討論過程中避免了復雜的曲線積分推導過程，只是通過一對比分析，得出了相同的有關結論，這樣使學生更容易地理解和把握這一抽象概念的本質含義。筆者用這種分析方法進行了多次現場教學，同學們都覺得這種分析方法比原來簡單易懂。因此，可以認為這種講授方法是可取的，有效的。