數學知識系統與數學研究性學習過程

摘要: 本文以組成數學知識的三個知識系統之間的關系為思想基礎，遵循人們的思維規律，提出了研究性數學學習模式是科學的學習模式，給出了數學研究性學習的四個步驟。

關鍵詞: 數學思想方法學習過程研究性學習

數學知識是科學知識的重要組成部分，在各個科學領域中具有極其廣泛的應用。數學思想方法是學習、發展數學的必要知識。在數學學習過程中，只有在數學思想方法指導下的研究性學習模式，才能使學習者既獲得數學理論性知識，又獲得分析問題、解決問題的科學思想能力。

一、數學知識系統及關系

數學知識系統可以看作是由以下三個系統組成:數學理論系統、數學實踐系統、數學思想方法系統。數學實踐系統是指所研究的主要數學對象和數學問題的具體實例的全部，是產生數學理論和數學思想方法的基礎。數學理論系統是數學實踐系統一般規律的反映，即理論來源于實踐。又由于數學研究對象的廣泛性、深刻性、科學性，只有建立數學理論并運用數學理論才能更全面、更深刻、更有效地解決實踐問題，即理論用于實踐。數學思想方法系統是對數學對象本質上的認識，是對具體的數學概念、命題、規律、方法等的認識過程中提煉概括的基本觀點和方法。

綜上所述，要想真正學好數學知識，就要全面學習三個知識系統。我們既要學習理論與實踐，又要學習運用數學的思想方法，從而使學習更深刻、更全面、更有效、更具有研究能力和創新精神。

二、數學研究性學習過程的具體步驟

數學研究性學習過程和研究其它知識一樣，是遵循人們認識世界的一般規律的，即從宏觀到微觀、從感性到理性、從定性到定量、從直觀到抽象、從實踐到認識的循環往復的認識過程。下面介紹具體數學研究性學習步驟。

(一)數學問題的展現

研究任何問題首先要對問題充分展現，為下面的工作奠定基礎。數學是研究數與形的科學，故對主要研究對象和研究問題主要是以幾何形式和代數形式展現。所謂主要研究對象是指需要研究的事物，而主要研究問題是指主要研究對象的某方面數學屬性、關系或規律。如研究函數極限，其主要研究對象是函數，主要研究問題是極限規律的有關理論。在數學問題中，相同的主要研究對象有不同的主要研究問題。如同以函數為主要研究對象，就可以有函數概念、函數極限、函數連續、函數導數、函數微分、函數積分等不同的主要研究問題。數學問題的幾何展現具有形象、直觀、定性理解性強的特點。而數學問題的代數展現具有科學、準確、抽象、邏輯性強的特點。兩種展現形式共同運用、優勢互補、相輔相成，才能更好地對所研究的問題進行完善充分的展現。要特別注意的是在整個數學研究的四個具體步驟中，一定要對實踐系統、理論系統、思想方法系統進行全面展現，否則就會形成研究背景不充分，使研究性學習過程受阻而不能順利進行。如研究函數極限問題，既要有一般形式的函數及圖像形式，又必須有具體函數即實踐系統的全面展示，要展示基本初等函數及由基本初等函數經過有限次四則運算和復合步驟形成的初等函數，并要展現非初等函數。這樣才能有助于在研究極限時進行各種情況的分析。并且，正是函數這個實踐體系的結構關系才產生了極限四則運算、反函數和復合函數極限運算法則等理論。

(二)數學問題的分析

我們應對主要數學研究對象和主要數學問題進行深入、細致的分析，研究其屬性、關系、規律，并在此基礎上發現、提出數學猜想。這個工作是區別于以邏輯路線為主的“填鴨式”教學的重要學習環節，也是培養創新能力的關鍵環節。數學理論就是揭示事物屬性、關系、規律的。在此環節的工作中我們要注意結合三個系統，即以數學思想方法為指導，注意理論從實踐中來到實踐中去的認識規律。如極限四則運算法則的學習，對于兩個函數和、差、積、商的極限問題無論從幾何上還是代數上都是極易理解的，也很容易提出極限四則運算的猜想。但對于不同問題數學研究有其多樣性特點。如函數導數的四則運算法則，兩個函數和、差求導法則就極易理解，而由于兩個函數積、商的一般幾何圖形反映不能很精確，故積、商的求導法則直觀、定性理解就要弱化，這是由于數學問題不同產生的正常現象。但我們仍能提出猜想:兩個函數積、商的導數和這兩個函數的導數是否存在關系?我們依此繼續展開研究，用導數定義進行具體試驗性運算，對此問題就會圓滿解決。

(三)理論化工作

對于上一步分析所得到的直觀性和定性的數學猜想，我們只有進行嚴格的數學論證或數學計算才能形成數學理論。運用數學理論對數學猜想進行科學論證或計算的思想方法是數學思想方法的極為重要部分。但既然是數學思想方法就有其廣泛的共性，只要在學習過程中注意對思想方法的分析、總結，就會不斷提高運用理論分析解決數學問題的能力。如羅爾、拉格郎日、柯西三個中值定理的證明，其思想方法本質只是一個。問題不同，論證思想方法本質相同或相近現象在數學知識系統中是極其廣泛的，可以說無處不在。又如前面提到的函數極限的求導法則，當猜想提出后如何證明呢?這就要聯想相關的極限問題理論及論證的思想方法，獲得各種論證的可能方案，經過實踐，使問題得以論證。值得珍惜的不僅是成功的方案，不成功的方案依然是珍貴的，正確的思路很可能在其它問題上是成功的方案，不完全正確的思路，有助于我們思想方法的積累和分析解決問題的能力的提高。

(四)反思階段

一些教師在數學問題得到解決之后，往往就結束了對該問題的研究。其實這樣有很大的不足。正如前面所述，數學學習既要學習理論和實踐知識，又要學習數學思想方法，以利于學生豐富數學思想方法知識，提高分析問題和解決問題的能力。我們經過前三步雖然使問題得到了解決，但由于對新問題解決的思維過程是十分復雜的發散思維過程，對各種可能的解決思路要進行多種試驗論證工作，在問題的研究過程中既有理性思維，又有許多感性的、直覺的、經驗性的思維，因此問題雖然解決了，但整個思路處于比較混亂狀態。所以只有經過對整個研究過程的思維過程進行反思，使思想方法得以化感性為理性、化混亂為清晰簡明，才能使思想方法體系得到豐富和提高。只有不斷總結、豐富新的思想方法，才能具有持續的掌握新的、更高級的、更復雜知識的能力。所以在學習過程中，對反思階段我們必須給予高度重視。它是學習過程不可缺少的關鍵步驟，是學習思想方法的收獲環節。

數學思想方法體系是多層次的豐富的知識系統。同一數學課程的不同部分存在著大量相同或相似的思想方法;不同的數學課程也存在著大量的相同或相似的思想方法;對于不同專業，即使是反差極大的文理學科，也存在著大量的相同或相似的思想方法。數學思想方法系統是無限的，需要我們不斷地去豐富和完善。綜合運用數學的思想方法形成科學的、具體的、可操作的數學學習和研究的方法與步驟對于數學的科學學習、研究、提高數學能力起著至關重要的作用。

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