數學教學中如何教學生“想”

【中圖分類號】G632【文獻標識碼】A【文章編號】1002-2139（2009）-13-0000-01

數學是思維的體操，大量事實證明：培養思維能力需要數學，同時數學學習本身又是思維活動的過程。為了引導學生敞開思維，數學教學不應是把現成的數學結論生搬硬套地教給學生，而是應把數學結論的發現過程，既怎樣“想數學”的思維過程教給學生，法國數學家富克斯教授，常常對要講的內容現講現推，對此，他的學生希爾伯特深有感觸地說：這種教學法使我和我的同學有機會瞧瞧高明的數學家的數學思維過程是怎樣的，可見“現想現推”對學生有多深影響啊！

“想”在數學教學中，就是針對問題尋找對策，其特點是突出“怎樣思考”，它能促進探索發現而直至到達目標，這不同于把現成的數學結論模式性地教給學生，重復知識和操練技能，因而能夠調動與挖掘學生求知本能的潛能，克服課堂教學學生天性中回避心智艱苦努力的弱點。下面結合幾個數學問題，談些個人看法：

一、精心選擇和設計“想”的情境

如講授有理數加法法則時，提出

（1）學了正數、零、負數后，有理數怎樣分類？（目的為講加法的類型作準備）

（2）任取兩個有理數，它們的符號有幾種類型？你能把各種類型的兩個有理數表示成和的形式嗎？（目的是為講法則打基礎）。

這里把問題的解決作為全部數學教學的中心，通過啟導，將有理數和的問題提了出來，下一步就要通過數學思維，探索、發現有理數和的結果怎樣。教師要告訴學生數學結論是怎樣“想”出來的？要把“怎樣想”的過程和方法教給學生，使之會“想”。

（1）從一點出發，在同一直線上向東（向東為正）走4米，再向東走2米，結果怎樣？這兩次運動的情況與兩個正有理數的和的運算有什么關系？

（2）根據運動的結果，（+4）+（+2）=？，該結果的符號、數值與加數的符號、數值有什么關系？

（3）規定向東為正以后，向西走2米如何理解？根據運動的結果，（+4）+（-2）=？該結果的符號、數值與加數的符號、數值有什么關系？

（4）對其它有理數和的形成，利用同一直線上的兩次運動又如何求得結果？

學生對諸如“（+4）+（-2）=？”感到困難時，怎么辦呢？此時，教師要引導學生聯想：任一有理數與數軸上的點有何關系？能否以數軸上的點兩次運動為例子來說明有理數和的運算？通過創設這些“想”的情境，學生就一目了然，心領神會了。利用數形結合使學生另辟捷徑地理解了加法法則的合理性。

二、把握心理探索順序，運用合情推理，教給學生“怎樣想”

一般地，數學問題的解決過程可分為四個階段：認識問題——尋找方法——實施辦法——得出結論。教學中，教師常常為探尋某個問題的解法冥思苦想，費盡千辛萬苦。但一到課堂上，卻是一舉成功，學生看不到教師是怎樣想（尋找方法）的，也不知是為何這樣想（實施辦法）的。這種做法，必然束縛學生的思維，使他們不能按照自己的心理探索順序去“想”。倘若教師能“讓學生看到數學建造過程的腳手架，而不是簡單的現成品”，把“想”的過程和方法給學生講清楚，無疑會給學生以有益的啟迪。使他們的思維能力得到提高。

比如，對于△ABC，欲證∠A+∠B+∠C=180°，可能的推理途徑有

1、按平角定義：延長BC，過C作CE∥AB，利用∠1=∠A，∠2=∠B（圖（1）），即可證得，

2、按平行線的性質：過A作AE∥BC，利用∠1=∠C及同旁內角互補證得

3、按圓周角定理得：作△ABC的外接圓，∠A+∠B+∠C=（弧AB+弧BC+弧CA）÷2=360°÷2=180°。

當然還有其它思路。

以上把問題“怎樣提出”和“應怎樣想”暴露給學生，同時又把二者之間的聯系是怎樣想出來的全部思維過程活脫脫地展現給學生，熏陶和培養了學生的思維能力。

三、精選一些“好問題”，加強“想”的策略

前蘇聯心理學家捷普洛夫說：“一個空洞的頭腦是不能進行思維的”。一切思維活動必須以豐富的知識經驗作依據，以概念為基礎，通過邏輯推理的方法來進行。在教學中，應精選一些“好問題”，通過對解題方法的研究，教給學生“怎樣想”和為什么“這樣想”的策略。如數形結合或轉換；考慮它的逆命題或逆推；解決一個或幾個相關的簡單問題；尋找一個反例；畫一個簡圖；尋找和使用一個模型等。這些基本策略可以豐富學生的頭腦，提高學生對問題的解決能力。

如勾股定理的證明，為什么要取四個全等的直角三角形，放在邊長為（a+b）的正方形內呢？

首先啟導學生根據此類三角形三邊的數量關系：， a2+b2=c2可視為邊長分別為a，b，c的三個正方形的面積間的關系。其次直角三角形兩直角邊a，b之積等于兩個直角三角形的面積，即以a，b為邊的矩形的面積。

通過對以上兩個問題的“想”，可在等式兩邊a2+b2=c2兩邊同時加上2 ab，得到（a+b）2 =c2+2ab。這個等式說明了為什么在以a+b為邊長的正方形內取四個全等的直角三角形的原因了。

由圖（1）知（a+b）2= a2+b2+2ab

由圖（2）知（a+b）2 =c2+2ab

由此可得a2+b2=c2

這個定理證明本身并不難，但究竟怎樣想到這樣證明卻是很難的，這里利用數學模型方法找到了問題怎樣提出的又是“怎樣想到的”依據。

四、用“出聲想”訓練學生的思維過程

教師把“想”給學生講清楚了，但并不等于學生就已經會“想”了，要達到學生會“想”，還必須加強對學生數學思維訓練。其中“出聲想”方法就可作為一種嘗試。教師把數學問題出示給學生，讓學生邊想邊出聲講，學生一旦發生障礙，就啟問：你在“想什么”？你是“怎樣想的”？為什么“這樣想”？等等，以此弄清學生的解題思維情況，找到學生“想”受阻的癥結所在，以便采取相應的措施“對癥下藥”。

總之，從培養學生能力的要求來看，學會思維，探索發現結論過程要比重數學結論更有價值。因此，教學中，我們在重視結論的同時，精心選擇和設計“想數學”的情境，教給學生會“想”是當前數學思想觀念的轉變和提高。