淺談學生數學思考能力的培養

摘 要:思考，是人類智慧的源流，也是人類進步的依托。前蘇聯心理學家維果茨基的內化理論提出:思考是一種活動，這種活動依循個人的內在語言來進行，并通過學生的經驗活動而發展。數學是少數能夠通過加強訓練、建立邏輯來對應的學問之一。在現今這個時代，人們更需要具備能夠洞察事物本質的數學性思考能力，而培養出這種能力正是數學的職責所在。

關鍵詞:數學思考 課堂教學 課后反思

一、有關背景分析

目前，應試教育現象仍很普遍。中學數學課堂教學中存在的問題不少，主要表現在注入式嚴重、滿堂灌、課堂氣氛沉悶以及學生的學習缺乏積極性和主動性。有的學生完全服從教師和課本，不敢獨立思考。也很少有機會去思考。

由于學生所處的文化環境、家庭背景和自身思維方式的不同，他們的思考能力發展并不均衡。思維的敏捷性、靈活性、深刻性等品質各不相同。通過調查研究與量化分析，我們覺得造成學生數學思考能力差異的因素是多方面的。一是學生自身的原因:包括智力水平、生活經驗、知識基礎、非智力因素等;二是教師教學的原因:包括教師的意識、教學活動的設計與組織、對學生的評價等。

二、培養學生數學思考能力的策略

1.平時加強對基礎知識、基本技能的訓練和鞏固，使學生具有思考的基礎

數學思考是指在數學活動中的思考，又有狹義和廣義之分。狹義的指學生關于數學對象的理性認識過程(思考數學)，廣義的指運用數學的知識、方法去分析事物、思考問題(數學思考)。數學思考也要講究基本功。

如:有些小學生在計算1/2+1/3=?時，答案為1/5或2/5，為什么會出現這樣的錯誤呢?這不僅僅是思考能力的問題，在計算能力方面也是欠缺的。若要扎實地建立起教育的基礎“讀、寫、算數”，“思考”當然是無須贅言的，甚至連前述教育白皮書草案中所輕視的“計算”與“背誦”，以及為了確實達成這兩個項目所要做的“反復練習”，都是相當重要的。

在數學的學習中，重要的是必須在基礎練習之后，能夠以簡單明了的形式描繪出在練習中得到的數學感覺，在日常生活中靈活運用數學思考能力。

這種思考能力可通過從初級階段開始就進行的“抽象化”訓練來培養。如:2個蘋果與2只昆蟲是兩種完全不同的東西。但是，2個蘋果再加上1個蘋果，與2只昆蟲再加上1只昆蟲的算法相同可用下面的算式來表示:2+1=3這就是所謂“數量的加法”，它是能以同樣方式來計算的一種方法，也是一種抽象化的思考。而計算練習就是為了穩固地建立起這種能力。教師(1)在教學此問題時，不妨問問學生:2個人加上1個人等于多少?2棵樹加上1棵樹呢?……2個蘋果加上1只昆蟲等于多少?能否累積，為什么?

讓學生感受數學，找到最重要的數學感覺之一——“類比”，即先從簡單的情況開始思考。類比的方法可以減少背誦，也可以在學習的過程當中發揮極大功效。

例如以下這類問題:位數為6的自然數n可用哪個式子表示呢?

A.10的5次冪≤n<10的6次冪

B.10的6次冪≤n<10的7次冪

另外，哪一個的符號是≤呢?

想法:一位數的自然數為1、2、3…9，

所以1≤n<10，可表示為

10的0次冪≤n<10的1次冪

兩位數的自然數為10、11…99，

可表示為10的1次冪≤n<10的2次冪。

因此，當n為6位數時，同理可推。得出答案A

2.建立平等、民主、和諧的師生關系，創設學生勇于思考的環境

作為教師，在教學過程中，對于最基本、最主干的原理要講清，以利于知識遷移;而對于一些擴展性問題、簡單的推導和論證、前后知識對比以及區別和聯系，對知識和方法的歸納、總結等，可以給學生留出余地，激發學生自己去思考鉆研。

教師要與學生進行平等的對話和交流。其前提是要相信和尊重每個學生，看到他們都有在某一方面成才的潛能。著名特級教師孫雙全與孩子心靈相通的教學情景就使我們很受啟發:“教學中，他不斷地鼓勵大家:‘誰來說一說，說對了表揚，說錯了也表揚，表揚你的勇氣。’而對孩子的錯誤解釋，也給予肯定的評價:‘因為你的錯誤才使我們明白失敗乃成功之母。’而對孩子出色的回答，他更是毫不吝嗇地對學生給予夸獎和贊美:‘真好，你有發現的眼睛。’當孩子不夠自信而不敢舉手時，他鼓勵學生:‘舉起手來就是英雄，就是高手!’學生在他的鼓勵下，越來越多的小手舉了起來。”在課堂上學生是“小臉通紅，小眼發光，小手直舉，小嘴常開”，這是一種多么寬松愉快的學習環境!

教師要善于敏銳地發現學生思考的“激發點”，及時地給予點燃。如當學生回答問題有錯誤時，正是點燃他思考的大好時機，絕不能輕易錯過。一要鼓勵學生答錯背后反映出的獨立思考和不人云亦云的勇氣;二要肯定蘊含其中的正確因素;三要著力地把學生的錯誤開發成課程資源，與學生共同找出錯誤的原因;四要引導學生通過深入思考找出正確答案。再如當學生回答問題“拿不準”時，這說明他的頭腦正處于困惑狀態，教師這時就要“拉他一把”，但絕不要直接給出答案。

教師要鼓勵學生破除迷信，敢于向權威挑戰，培養其勇于探索的創新精神。因為敢于向權威挑戰是創新型人才的可貴品質。這不妨從破除教師的權威開始:課堂上如果遇到了學生的“節外生枝”或提出了挑戰性的問題時，教師應該熱情地歡迎，冷靜地傾聽，認真地分析。如果是確有價值的意見，就應隨機應變地將其轉化為課程資源。如果學生的主張不對時，教師應引導他們繼續深入探究。

例如:在教學湘教版八年級數學上冊§3.1旋轉時，不妨拿實物演示“平移”這種變換，從而讓學生說出其定義及性質，然后拿非等腰的三角尺繞著一個頂點順(逆)時針方向旋轉一定的角度，并把兩個三角形用不同的顏色標畫在黑板上。(注意在進行變換的過程中有意識地進行數學語言的訓練)通過類比的方法，讓學生發現并歸納:旋轉的定義及性質。然后再一次讓學生作“旋轉”演示，這次的旋轉中心不是三角形的頂點而是三角形外面的任意一個點，再拿課本進行演示，把其平面圖形用粉筆勾畫出來，讓其進一步明白對“旋轉”的描繪，認識旋轉中心，旋轉角，原像與像，對應點，對旋轉的性質的運用。

3.引導學生學會反思

荷蘭著名數學教育家弗賴登塔爾指出:反思是數學思維活動的核心和動力，學習是一個系統工程，學會反思是學生發展中不可或缺的重要因素，學生反思數學思考的過程，就是對自己的數學學習進行自我監控自我調節，進而對數學認知活動進行指導支配決定和監控教師在日常教學中應重視引導學生形成反思的意識，掌握反思的方法。

為提升學生的數學思考能力教師可以利用每一課結束前的短短幾分鐘，讓學生對所學的內容，學習過程運用的數學思想方法進行回顧和思考。學生可以自我提問和互相提問:這節課的重點是什么?我學會了什么?我有什么不懂的地方?我是怎么學會的?這節課的知識和以前學過的哪些知識有聯系?我還想知道什么?學生經過反思，不僅能及時將學到的新知識進行梳理，而且還能溝通新知識和已學知識的聯系，并嘗試對新知的延伸進行探詢。

如:在臨近教學“旋轉”這一節課結束之前，我們可以說說什么叫做旋轉，旋轉的三個要素是什么，你能用旋轉的性質作指定圖形在旋轉條件下的圖形嗎，至今為止，我們學過的圖形變換有哪些呢，它們之間有什么聯系和區別呢，你能用你現有的實物一一演示嗎?

4.逐步培養學生有條理地梳理、綜合在思考中獲得的信息，使學生在思考中有所收獲

問題解決后有待更進一步的反思，弗賴登塔爾指出:通過回顧所完成的解答，通過重新考慮和重新檢查這個結果和得出這一結果的路子，學生們可以鞏固他們的知識和發展他們的解題能力。綜觀現在的課堂，有些學生仍然認為做完題就完成了任務，不會主動對解題過程進行回頭看和再思考，也不會對特殊問題所包含的一般意義作進一步認識，從而導致學習效率低下，思維的靈活性不能得到有效培養。學生在解決問題后，不妨引導他們思考:回憶一下你的思考過程，哪里是解決問題的突破口?這個問題你是怎樣一步一步解決的?每一步求的是什么?為什么這么做，不這么做行嗎?還有沒有其他辦法?如果有，哪種辦法更好?對于學生來說，有時候這種反思比做題本身更重要。因此，我們要讓學生在解決問題的過程中，逐漸形成這種反思的意識和能力。

如:問題一:已知一個三角形每相鄰兩邊的和分別為17，18，25，求這三邊的長。

然而，有的學生在解這道題時用的是非常規解法。

解:設三條邊的長分別為x，y，z則有

x+y=17(1)

y+z=18(2)

x+z=25(3)

(1)+(2)+(3)得:x+y+z=60(4)再將(1)、(2)、(3)分別代入(4)得到三邊的長分別為12、5、13

問題二:已知a≠1/b，3a²+4a-1=0，3/b²+4/b-1=0求b+1/a的值

而有的同學知道，如果用解方程的方法來求值，由于第二個為分式方程，求解復雜。但兩方程在結構上都與方程(1)3x²+4x-1=0接近，所以可以把a與1/b看成是方程(1)的兩個根，由韋達定理有a+1/b=-4/3，a·1/b=-1/3從而可求得b+1/a=(a+1/b)·b/a=(-4/3)·(-3/1)=4

上述的非常規解法是創造性思維的具體表現。他們能仔細觀察問題，能從在空間數量關系上與該問題接近的范圍去回憶一個相關的問題、定理或公式，再從相關問題、定理或公式的特征上去思考問題的解答方法。

當然有時也有這種秘密招數:問題三:請在下面括號內填上正確的數字若xyz=1，則2x/(xy+x+1)+2y/(yz+y+1)+2z/(zx+z+1)=( )

提示:像這樣的題目一定都有解答。出錯題的情況可以說是少之又少。所以請用一些簡單的數值代進去試試看。

不妨設X=1，Y=1，Z=1，可以滿足XYZ=1。以這個數值代入計算，則得到答案為2

事實上，把分式2X/(XY+X+1)的分子分母同時乘以Z，把分式2Y/(YZ+Y+1)的分子分母同時乘以X，再利用XYZ=1這個已知條件進行化簡就會得到與第三個分式同分母的分數，再相加答案為2。這是填空題及選擇題最大的一個弱點。

三、幾點思考

1.數學思考對學生的發展有著重要的意義，而數學思考彌散于知識與技能、解決問題之中，要乘勢而為，不可單獨進行強化訓練，也不可脫離生活中的實例而憑空講解。

2.數學思考要在數學活動中實現，它貫穿于整個數學學習過程中。在新課程背景下，數學教師要吃透新教材的編排意圖，利用教材已創設的情境，把數學思考作為學生的學習目標來設計教學各個環節，使學生的數學思考得到穩步地發展，使學生在將來社會生活中能夠更好地利用數學工具解決生活中的各種問題。

參考文獻:

1.[日]岡部恒治著.王秋陽等譯.訓練思考能力的數學書.2005(2)

2.徐妍燕.淺談有效中學數學課堂教學[M].素質教育論壇下半月.2008(9)

3.孔華萍.淺談中學數學課堂教學的語言技巧[M].云南教育.2008(4)

4.張全國.淺談中學數學課堂教學的喚醒[M].考試(教研版).2007(2)

作者單位:湖南省新化縣孟公鎮太陽中學