思維轉(zhuǎn)向：推導公式不落窠臼

雷清蘭

“現(xiàn)實生活中的許多問題的解決方式不唯一,答案也并不是唯一的,只要能解釋其合理性,就應該允許其存在,現(xiàn)實生活是這樣,源于生活的數(shù)學也是這樣,解決問題更應該這樣.”數(shù)學的學習,離不開對計算公式的理解與運用,從某種意義來說,幾何形體的學習,就是對它們的公式、定義、公理、定律等的把握與運用.我們在數(shù)學教學中,要時刻反思:我們的教學是否有效、是否高效,我們的教學方法、教學設計能否加入我們自己的想法,能否找些新的著力點.就像阿基米德說的那樣:“假如給我一個支點,我將撬起整個地球.”我想,我們的教學,就是需要多找找這樣的支點,以便讓我們的學生把一個個知識點“撬起來”.

一、思維轉(zhuǎn)個向,崎嶇變坦途

很多時候,我們的教學習慣于按既往的思路或者思維方法去進行,這就像野外的野生動物,為了安全起見,它們總是習慣于印著原來的腳印走路,殊不知,有經(jīng)驗的獵人,卻抓住它們的這一特點,屢屢得手.其實我們?nèi)祟愖约阂苍诓恢挥X中踐行著這一準則,只不過不自知而已.看看我們的幾個教學實例就知道了.

我們在教學北師大版課程標準實驗教科書《數(shù)學》五年級上冊,第27頁“三角形的面積”的時候,常常按部就班地進行.

下面是“三角形的面積”的部分課堂實錄:

師:要比較兩個三角形的大小就是比較什么呢?

生:要比較三角形的大小就是比較三角形的面積.(教師板書課題:三角形的面積.)

師:我們可以用什么方法比較呢?今天我們就一起來探索一回吧.

生:用數(shù)方格的方法比較三角形面積.

師:還有更加普遍的方法求三角形的面積嗎?

學生自主探究,動手操作,獲取新知.

師:前面我們只是猜想三角形面積是底和高乘積的的一半,還需進一步證明.大家回憶一下計算平行四邊形的面積公式是怎樣推導出來的.

生:用割補的辦法,把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形,然后推導出計算平形四邊形面積的公式.

師:那么三角形能不能通過剪拼的辦法轉(zhuǎn)化成長方形或平行四邊形呢?我們大家分小組來做個實驗,用你們手上的小三角形進行拼拼,探究一下吧.

學生探究以后,得出:兩個相同的三角形可以拼成一個平行四邊形.

所以最后得出:三角形的面積=底×高÷2.

像上面這樣的教學進程應該是比較普遍也是比較正常的,相信絕大部分的教師也是這樣進行的.我們回過頭來看課本的安排也是這樣的(下圖是課本的插圖):

但如果我們把書倒過來以后,就會有新的發(fā)現(xiàn),別有一番趣味.把書倒過來以后,圖形卻成了下面這樣:

現(xiàn)在我們完全可以來一個“逆向思維”,反其道而行之:把一個平行四邊形沿對角線剪成兩個完全一樣的三角形.

那么,既然平行四邊形的面積等于底乘高,而三角形的面積等于平行四邊形面積的一半,即三角形的面積=底×高÷2.這樣,學生更加容易理解“底×高÷2”.

看,這樣的推導是多么的妙!既容易理解,又容易懂,剔除了很多繁文縟節(jié),一步到位,直中命門.

同樣,梯形面積的面積計算公式,也可以如法炮制,一樣會有意想不到的收獲.如五年級上冊第29頁的“梯形的面積”的教學:

在與學生一同探究出梯形的面積計算公式后,再讓學生研讀課本,學生對梯形面積的計算以及平行四邊形與梯形的關(guān)系自然能夠領(lǐng)悟得更加透徹.

通過上面的剪、疊、重合、比較,再推導出三角形、梯形的面積計算公式,對學生來說,無疑會起到激發(fā)興趣、發(fā)散思維的作用,可謂動手與操作并舉,思維共想象齊飛.

二、給變形鋪墊,思維軟著陸

在數(shù)學教學中,有些需要實驗操作完成的內(nèi)容,我們往往習慣于一個實驗解決問題,這樣做的好處是讓學生集中精神研究解決一個實驗.但它有一個明顯不足之處,就是對于那部分理解力稍微遲緩的學生,很難達到教學的預設.如果在實驗之前來個小實驗,那么效果會更好,這就像正餐之前的點心,更能起到刺激食欲的作用.

如對于圓柱的體積的教學,仿照課本上的切割拼的實驗之前,我先進行了這樣一個小實驗:

一個長寬高分別是8厘米、6.3厘米、10厘米的長方體硬紙盒,一個底面半徑是4厘米、高是10厘米的圓柱體硬紙盒.用圓柱體硬紙盒裝滿水(里面鋪上一個薄膜袋子),倒入長方體硬紙盒,發(fā)現(xiàn)它們差不多裝一樣多的水,然后讓學生觀察比較兩個立體模型的體積.

把兩個立體模型放在一起,讓學生試著根據(jù)剛才的實驗以及兩個模型的有關(guān)數(shù)據(jù)進行猜想:圓柱的體積與長方體的體積關(guān)系?圓柱的體積與圓柱本身的哪些量有關(guān)系?并說說自己猜想的理由.

有了這個實驗作鋪墊,討論、猜想自然很熱烈,學生們各抒己見,一下子把學習積極性以及探究的欲望調(diào)動起來了,大有不研究清楚不罷休的勢頭.

完成上述實驗與猜想后,再讓學生利用學具以小組合作的方式進行課本第36頁的實驗,相信這時候,學生對于圓柱體體積如何轉(zhuǎn)化成長方體體積進行計算的領(lǐng)悟已經(jīng)水到渠成了,對于計算公式的推導也能夠自己完成.

有了前面的實驗做臺階,學生的思維自然能很好地進行演繹與歸納,這就是“點心”的功效.

我們的教學有時需要給慣性思維急剎車,來一個一百八十度的急轉(zhuǎn)彎,這樣做的效果,無論是對學生還是對教師本身,其作用都是不言而喻的.對于學生來說,他們能夠得到兩種思維的洗禮,并在頭腦中發(fā)生碰撞,進而激發(fā)出創(chuàng)新思維的火花.

責任編輯羅峰