談數(shù)學(xué)直覺(jué)思維及培養(yǎng)

李宏嚴(yán)

數(shù)學(xué)直覺(jué)思維就是大腦對(duì)數(shù)字及其結(jié)構(gòu)關(guān)系的一種迅速的判斷與敏銳的想象。伊恩·斯圖加特曾說(shuō)過(guò)：“直覺(jué)是真正的數(shù)學(xué)家賴以生存的東西。”許多重大的發(fā)現(xiàn)都是基于直覺(jué)。歐幾里得幾何學(xué)的五個(gè)公設(shè)都是基于直覺(jué)，從而建立起歐幾里得幾何學(xué)這棟“輝煌的大廈”；哈密頓在散步的路上進(jìn)發(fā)了構(gòu)造四元素的火花；阿基米德在浴室里找到了辨別王冠真假的方法；凱庫(kù)勒發(fā)現(xiàn)苯分子環(huán)狀結(jié)構(gòu)更是一個(gè)直覺(jué)思維的成功典范。

由此可見(jiàn)，直覺(jué)是一種深層次的心理活動(dòng)，沒(méi)有具體的直觀形象和可操作的邏輯順序作思考的背景。法國(guó)科學(xué)院院士狄多涅認(rèn)為：任何水平的數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目的，無(wú)疑是使學(xué)生對(duì)他們要處理的數(shù)學(xué)對(duì)象有一個(gè)可靠的“直覺(jué)”。一個(gè)人的數(shù)學(xué)思維，判斷能力的高低主要取決于直覺(jué)思維能力的高低。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要善于創(chuàng)造條件、捕捉時(shí)機(jī)，培養(yǎng)學(xué)生的直覺(jué)思維。

一、“四基”是產(chǎn)生直覺(jué)的前提

直覺(jué)思維是基于對(duì)該領(lǐng)域的基礎(chǔ)知識(shí)及其結(jié)構(gòu)的了解，正是這一點(diǎn)才迫使一個(gè)人能以飛躍、迅速越級(jí)知識(shí)和放過(guò)個(gè)別細(xì)節(jié)的方式進(jìn)行直覺(jué)思維。高度的直覺(jué)來(lái)源于豐富的學(xué)識(shí)和經(jīng)驗(yàn)。它不只是個(gè)別天才所特有的，而是一種基本的思維方式。扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能、豐富的數(shù)學(xué)基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是產(chǎn)生直覺(jué)的前提。其實(shí)，數(shù)學(xué)直覺(jué)思維是對(duì)抽象的數(shù)學(xué)對(duì)象的一種直接領(lǐng)悟和洞察，并非簡(jiǎn)單地對(duì)具體事物的感性直觀，是在一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)知識(shí)積累過(guò)程中形成的一種思維能力。它是可以培養(yǎng)和不斷提高的。正如徐利治教授所說(shuō)：“數(shù)學(xué)直覺(jué)是可以后天培養(yǎng)的，實(shí)際上每個(gè)人的數(shù)學(xué)直覺(jué)也是不斷提高的。”

如，在學(xué)完一元二次方程的解法后，筆者曾讓學(xué)生做了這樣一道題：已知a²+3n+1=0，b²+3b+1=0，求a6的值。

大部分學(xué)生都嘗試解這兩個(gè)一元二次方程，試圖分別求出a、b后再求ab的值，結(jié)果卻花了很多時(shí)間還是一無(wú)所獲。但是，卻有一個(gè)學(xué)生對(duì)一元二次方程的根的定義理解較深刻并且掌握較好，憑直覺(jué)立刻將a、b看成方程x²+3x+1=0的兩根，由韋達(dá)定理很快得出ab=1。

二、在猜測(cè)中培養(yǎng)學(xué)生的直覺(jué)思維

牛頓說(shuō)：“沒(méi)有大膽的猜想就不會(huì)有偉大的發(fā)現(xiàn)。”數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中的課程目標(biāo)也提到：要培養(yǎng)學(xué)生的猜測(cè)能力、發(fā)展初步的合情推理能力，讓學(xué)生經(jīng)歷對(duì)問(wèn)題的預(yù)測(cè)過(guò)程。因此，在數(shù)學(xué)課堂上，應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生憑直覺(jué)大膽猜想、預(yù)測(cè)。為此，就要求教師轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，把主動(dòng)權(quán)還給學(xué)生。對(duì)于學(xué)生的大膽設(shè)想要給予充分肯定，對(duì)其合理成分及時(shí)給予鼓勵(lì)，愛(ài)護(hù)、扶植學(xué)生的自發(fā)性直覺(jué)思維，避免挫傷學(xué)生直覺(jué)思維的積極性和學(xué)生直覺(jué)思維的悟性。教師應(yīng)及時(shí)因勢(shì)利導(dǎo)，解除學(xué)生心中的疑惑，使學(xué)生對(duì)自己的直覺(jué)產(chǎn)生成功的喜悅感。

實(shí)際上，在數(shù)學(xué)教學(xué)中有很多讓學(xué)生猜想的機(jī)會(huì)。例如，每學(xué)完一個(gè)新知識(shí)，可以讓學(xué)生猜測(cè)下一步將會(huì)學(xué)什么。有的學(xué)生學(xué)習(xí)了有理數(shù)后會(huì)猜測(cè)到以后可能會(huì)學(xué)習(xí)無(wú)理數(shù)；學(xué)習(xí)了整式，會(huì)猜想以后將會(huì)學(xué)分式；有的學(xué)生學(xué)習(xí)了三角形的面積公式后，就能猜測(cè)到將要學(xué)習(xí)平行四邊形、梯形的面積公式；學(xué)習(xí)了一元一次方程，就猜測(cè)將學(xué)習(xí)一元二次方程、二元一次方程。這些猜測(cè)和預(yù)感讓他們對(duì)未來(lái)的學(xué)習(xí)內(nèi)容平添了許多興趣和期盼。而在概念的教學(xué)中，教師可先提出概念名稱，由學(xué)生就字面意思進(jìn)行猜測(cè)，再進(jìn)一步教學(xué)。例如，在“等腰三角形”的教學(xué)中，筆者就讓學(xué)生就字面意思猜測(cè)其含義，學(xué)生也能猜個(gè)八九不離十，并在猜測(cè)的過(guò)程中各抒己見(jiàn)，活躍了課堂氣氛，也激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。一條定理或是一道題的解法，都可以鼓勵(lì)他們猜想，猜錯(cuò)了則引導(dǎo)他們尋找原因。這樣有利于激發(fā)他們的直覺(jué)思維，并使直覺(jué)思維從表層、低層向深層、高層發(fā)展。例如，在初中平面幾何三角形中位線定理(三角形中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半。)的證明中，給出圖形，在理解中位線概念之后，可以讓學(xué)生猜想中位線與第三邊的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系。一般說(shuō)來(lái)，學(xué)生依照直覺(jué)都能做出正確的猜想，根據(jù)猜想的結(jié)果指引論證的方法。通過(guò)這個(gè)過(guò)程，肯定了學(xué)生自己思維的角度與方式，極大地增強(qiáng)他們直覺(jué)思維的積極性。其實(shí)像這樣依靠直覺(jué)猜想的結(jié)論來(lái)指引解題的方法，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中也是一種常用手段。教學(xué)中若教師只是按部就班地講授教學(xué)內(nèi)容，無(wú)暇讓學(xué)生對(duì)一些問(wèn)題進(jìn)行猜想或是無(wú)暇對(duì)學(xué)生的猜想進(jìn)行評(píng)析、論證，或是對(duì)錯(cuò)誤的猜想采取簡(jiǎn)單的否定，這些做法都不利于培養(yǎng)學(xué)生的直覺(jué)思維，相反，還會(huì)扼殺學(xué)生的直覺(jué)思維。

三、在具體情境中培養(yǎng)學(xué)生的直覺(jué)思維

在教學(xué)中要重視問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)，它不僅可以使學(xué)生容易掌握數(shù)學(xué)知識(shí)和技能，還可以提高學(xué)生各方面的能力，當(dāng)然也包含直覺(jué)思維能力。恰到好處的問(wèn)題情境可以使學(xué)生憑直覺(jué)去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，更好地體驗(yàn)數(shù)學(xué)內(nèi)容的生動(dòng)、有趣并富有現(xiàn)實(shí)意義的特點(diǎn)。例如：在上《生活中的軸對(duì)稱》這一節(jié)內(nèi)容時(shí)，筆者并沒(méi)有直接引入課題，而是先制作了多媒體課件，向?qū)W生展示了很多精美的對(duì)稱的圖片，有世界上有名的建筑，有美麗的山水圖，還有一些生活中常見(jiàn)的東西。讓學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)這些圖片的共同點(diǎn)，引發(fā)了學(xué)生的極大興趣，然后才提出問(wèn)題：我們這節(jié)課的內(nèi)容就與這些圖片中所表現(xiàn)出的共同的特點(diǎn)有關(guān)，你能猜出來(lái)嗎?很多學(xué)生幾乎是馬上答出：對(duì)稱，然后才引導(dǎo)學(xué)生去觀察。引入了課題后，在后面軸對(duì)稱的有關(guān)概念的學(xué)習(xí)中，學(xué)生始終興致盎然，很快掌握了有關(guān)的知識(shí)。筆者接著提出：我們生活中還有很多軸對(duì)稱圖形，也學(xué)過(guò)很多軸對(duì)稱圖形。全班同學(xué)爭(zhēng)先恐后地列舉起來(lái)，并說(shuō)出了自己的理由，就連后面要學(xué)的線段、等腰三角形的有關(guān)性質(zhì)，也開(kāi)始探討起來(lái)。這樣使學(xué)生的觀察能力得到了培養(yǎng)。心理學(xué)家指出：觀察是一種高級(jí)的知覺(jué)形式，其最可貴的品質(zhì)是從平常的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)不平常的東西，從表象能看到本質(zhì)，從表面上貌似無(wú)關(guān)的東西中發(fā)現(xiàn)相似點(diǎn)或是某種關(guān)系。因此強(qiáng)的觀察力往往能促發(fā)直覺(jué)思維(如關(guān)聯(lián)直覺(jué)或辨?zhèn)沃庇X(jué))，而且有利于形成深層的直覺(jué)思維。

四、在開(kāi)放性練習(xí)中培養(yǎng)直覺(jué)思維

無(wú)意識(shí)的直覺(jué)思維之所以能產(chǎn)生“奇妙”的思想，其根本原因在于這種思維活動(dòng)不受任何有意識(shí)的思維所必然具有的條條框框的束縛，從而就可以最自由地作出各種可能的組合或是必要的選擇。因此數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生盡量從多角度對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行分析和思考，培養(yǎng)發(fā)散思維、逆向思維，讓思維變得有活力，有更強(qiáng)的靈活度，才可能形成并增強(qiáng)直覺(jué)思維。要鼓勵(lì)學(xué)生盡量從多角度對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行分析和思考，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和逆向思維，教學(xué)中就要有意識(shí)地設(shè)計(jì)一些條件不足或多余，沒(méi)有確定的結(jié)論或結(jié)論不唯一，解決問(wèn)題的策略、思路多種多樣等開(kāi)放性題目給學(xué)生訓(xùn)練。在解決問(wèn)題訓(xùn)練時(shí)，也盡可能設(shè)計(jì)一些與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系緊密又有多種解決辦法的題目。如：某糧庫(kù)原定8小時(shí)運(yùn)送糧食320噸，現(xiàn)在任務(wù)增加到480噸。該怎么辦?由于沒(méi)有規(guī)定解決問(wèn)題的具體方式，學(xué)生可以自由地發(fā)散思維，根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行假想，從而找到解決問(wèn)題的多種辦法。《中國(guó)青年報(bào)》也曾報(bào)道：“約30％的初中生學(xué)習(xí)了平面幾何推理之后，喪失了對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣”。長(zhǎng)期以來(lái)，教師由于把證明過(guò)程過(guò)分地嚴(yán)格化、程序化，學(xué)生只是見(jiàn)到一具僵硬的邏輯外殼，直覺(jué)的光環(huán)被掩蓋住了，而把成功往往歸功于邏輯的功勞，對(duì)自己的直覺(jué)反而感覺(jué)不到。學(xué)生的內(nèi)在潛能沒(méi)有被激發(fā)出來(lái)，學(xué)習(xí)的興趣沒(méi)有被調(diào)動(dòng)起來(lái)，得不到思維的真正樂(lè)趣。還是龐加萊說(shuō)得好：邏輯思維用于論證，直覺(jué)用于發(fā)明，直覺(jué)無(wú)處不在，直覺(jué)為人們打開(kāi)發(fā)現(xiàn)真理的大門。

責(zé)任編輯：羅艷