投票絕對公平嗎？

木　遙

２００８年１１月４日，美國總統大選讓奧巴馬成為美國歷史上第一個黑人總統，也讓這個日子永載史冊。美國媒體在之前的宣傳中紛紛稱之為“你一生中最重要的一次投票”——事實上，每次投票之前都會有類似的宣傳出現。

既然有投票，就有事前的機關算盡，事后的敗寇成王。美國人的情緒在那個特殊的夜晚激烈地動蕩著，“藕粉”們（奧巴馬的支持者）紛紛稱之為美國歷史的新紀元，“麥片”們（麥凱恩的支持者）憤憤不平地說奧巴馬只不過是靠巧言令色才竊得大位，“稀飯”們（希拉里的支持者）則黯然神傷，來來去去想的都是“要是希拉里當時贏了民主黨初選……”由于眾所周知的原因，我們對于投票這件事情的了解幾乎總是匱乏的。隔岸觀火，也不失為一個學習投票常識的辦法。

“且慢，”也許你會有異議，“如果說選舉過程中的政治操作需要學習還可以接受的話，投票本身還有什么知識可言？一人一票的統計就是了啊。”當然不僅如此，正如我們所知，美國的選舉制度并非是簡單的一人一票。事實上，“一人一票”并不一定是個自然的辦法，甚至也不一定是個好辦法。

讓我們從下面這個簡單的例子開始。假設有一組人要從Ａ、Ｂ、Ｃ三個候選人中選出一個來擔任某項職務。大家對這三個人的內心偏好如下：

有２個人認為Ａ優于Ｂ，B優于Ｃ

有３個人認為Ａ優于Ｃ，C優于Ｂ

有２個人認為Ｃ優于Ｂ，B優于Ａ

有４個人認為Ｂ優于Ｃ，C優于Ａ

現在大家按照每人投一票的原則，給心中最勝任的人選投上一票。結果是Ａ得５票，Ｂ得４票，Ｃ得２票，排名是Ａ高于Ｂ，B高于Ｃ，最后Ａ當選。看起來沒什么問題。

如果換一個規則，假定大家認為每人一票不足以反映民意，決定仍然按照上面的偏好順序投票，但是每個人分別投兩票給他認為最勝任和次勝任的人選，那么結果會有多大差別？計算一下就會發現，最后Ａ得５票，Ｂ得８票，Ｃ得９票，排名是Ｃ高于Ｂ高于Ａ，當選的是Ｃ，原先票數最高的Ａ反而墊底！

事實上，在投票這件事情上，我們面對的不僅是簡單的數字游戲，而是人類社會最本質的問題之一：如何才有可能把社會中每個成員的意見，綜合成為一個社會的整體意見？有趣的是，對這個問題最好的回答之一是以數學形式得到的。１９７２年諾貝爾經濟學獎得主Ｋenneth J．Ａｒｒｏｗ給出了著名的Ａｒｒｏｗ定理。該定理考慮的是比投票更為普遍的情況，即如果一個集體中每個成員都對給定的一系列選項（或者候選人）有一組偏好順序，那么一個“社會選擇機制”能夠在多好的程度上得到一個綜合的排序？換句話說，需要找到一個函數，把所有人的排序映射為一個綜合的排序，關于這個函數我們有下面這些自然的標準。

非獨裁性：這個函數的輸出意見不能總是等于同一個人的輸入意見。也就是說，不存在一個人的意見總是凌駕于所有人的意見之上。

帕雷托最優：如果在每個人的排序中Ａ都優于Ｂ，在輸出結果中Ａ也應當優于Ｂ。

無關因素獨立性：如果人們對Ｃ的看法改變了，不應當影響到結果中Ａ和Ｂ的相對排序。

Ａｒｒｏｗ定理是說，只要有三個或更多的候選者，就不可能存在一個函數，或者說“社會選擇機制”，滿足這些標準。這一結論看似是令人失望的。它意味著我們這個社會不僅暫時還不完美，而且永遠都不會完美。而在這一切之中最迷人之處，則是這樣復雜的現實可以被如此優美的數學所描述和論證。