淺談“完全平方公式”

王春生

對于人教版《數(shù)學(xué)》八年級上冊完全平方公式，教材從四個引題:

（1）(P+1)²=(P+1)(P+1)=_______；

（2）(m+2)²=(m+2)(m+2)= _______；

（3）(p-1)²=(p-1)(p-1)= _______；

（4）(m-2)²=(m-2)(m-2)= _______.

通過計(jì)算、探究,尋找規(guī)律,得出完全平方公式，原文如下：一般的,我們有(a+b)²=a²+2ab+b²；(a-b)²=a²-2ab+b²即兩數(shù)和(或差)的平方等于它們的平方和,加(或減)它們積的2倍.教學(xué)過程中,常有學(xué)生很容易把符號搞錯,究其原因,我覺得教材對完全平方公式的語言描述不夠恰當(dāng),現(xiàn)提點(diǎn)個人意見與大家交流,不足之處還請指正.

完全平方公式是根據(jù)乘方的意義和多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則得出的,而多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則(先用一個多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個多項(xiàng)式的每一項(xiàng),再把所得的積相加)中語言描述的核心是“項(xiàng)×項(xiàng)”,項(xiàng)是帶有符號的,這在多項(xiàng)式的概念,單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則(用單項(xiàng)式去乘以多項(xiàng)式的每一項(xiàng),再把所得的積相加),都用到了“項(xiàng)”、“和”,并且教學(xué)中反復(fù)強(qiáng)調(diào),多項(xiàng)式是單項(xiàng)式的和,每一項(xiàng)包括它前面的符號，在計(jì)算時一定要注意確定積中各項(xiàng)的符號,這在學(xué)生頭腦中已經(jīng)根深蒂固,但在完全平方公式語言描述中,竟然“冒出”差與減來，有的學(xué)生弄不明白了,特別是對于兩“數(shù)”,雖然提醒學(xué)生公式中字母a、b可以代表任何一個數(shù),一個單項(xiàng)式或一個多項(xiàng)式,但還易出現(xiàn)符號錯誤,百思不得其解.例如對于計(jì)算(-a-b)²有一部分學(xué)生就不會直接運(yùn)用完全平方公式，而要將其轉(zhuǎn)化為(a+b)²后，才會運(yùn)用公式,直接計(jì)算的話，前者出現(xiàn)錯誤明顯高于后者.

當(dāng)然,教材的設(shè)計(jì)由整式的乘法到完全平方公式是一個循序漸進(jìn)過程,體現(xiàn)了“螺旋型”課程,但是其語言描述卻違背了奧蘇貝爾的同化論——學(xué)習(xí)是否有意義,取決于新知識與學(xué)生已有舊知識之間是否建立了聯(lián)系,認(rèn)知結(jié)構(gòu)中新舊知識的相互作用導(dǎo)致新知識被同化,從而使新知識獲得了意義,而且舊知識也因此得到了修正而獲得新的意義,新知識中，“減、差”顯然不能與舊知識中的“項(xiàng)、和”建立聯(lián)系.

如果將教材中(a+b)²=a²+2ab+b²，(a-b)²=a²-2ab+b²合二為一即(a+b)²=a²+2ab+b²，因(a-b)²=［a+(-b)］²,而語言描述為兩項(xiàng)和的平方,等于各項(xiàng)的平方和,加上它們兩項(xiàng)積的2倍,運(yùn)用此描述來計(jì)算,一提到“項(xiàng)”學(xué)生自然而然就想到包括它前面的符號,就可減少出現(xiàn)符號錯誤,此時再來計(jì)算(-a-b)²就顯得容易多了,兩項(xiàng)是-a，-b.因此(-a-b)²=(-a)²+2·(-a)·(-b)+(-b)²=a²+2ab+b²，此基礎(chǔ)上推導(dǎo)三項(xiàng)和的平方(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc,用語言描述為三項(xiàng)和的平方,等于各項(xiàng)的平方和,加上它們兩兩積的2倍.對于n項(xiàng)和的平方(a₁+a2+…+a璶)²=a12+a²2+…+a²璶+2a₁a2+2a₁a3+…+2a璶-1a璶.語言描述為n項(xiàng)和的平方,等于各項(xiàng)的平方和,加上它們兩兩積的2倍.

總之,運(yùn)用完全平方公式時,認(rèn)清公式的結(jié)構(gòu)特征,關(guān)鍵是確定兩數(shù),恰當(dāng)?shù)卣f為兩項(xiàng),然后再看是否為兩項(xiàng)的和,最后按照公式寫出兩項(xiàng)和的平方的結(jié)果,就可從根本上杜絕符號錯誤的發(fā)生.

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