新課程背景下高中數學開放式教學探析

劉斌政

一、數學開放式教學的內涵

所謂“開放”，是指根據數學教學目標，把數學教學內容、學生認識與建構數學的活動和學生與教學內容之間相互作用等幾個方面的開放.結合現代認知科學和建構主義理論，筆者認為：數學開放式教學是以數學教學目標為綱要，數學教學內容為載體，發展學生能力為本位，提高學生數學素養為原則的教學，通過數學教學，充分提高學生的主體性，不僅要教給學生數學知識，而且要教給學生建構知識的方法和過程，即不僅要“教知識”，而且要“教思考”、“教猜想”（G.波利亞語）.在教學中，貫徹分層教學的原則，讓學生能夠按各自不同的目的、不同的選擇、不同的能力、不同的興趣，選擇不同的教學并得到發展，具備較好數學素養的學生能夠積極參與數學活動，使得有進一步的發展機會；而較低者也能參與數學活動，完成幾項特殊的任務，獲得必需的數學知識和提高思維能力.

二、數學開放式教學案例二則

案例一 二次函數與一元二次不等式的關系

教學設計：

1.引言（“T”：教師，“S”：學生）

T：我們課外要求請各小組通過查閱資料，對一元二次方程的解法、一元二次函數的性質和一元二次不等式的解法進行分類整理和總結歸納，現在通過投影儀來展示各小組的成果.

投影例舉：

一元二次方程的解決

（1）因式分解法

（2）十字相乘法

（3）開方法

（4）求根公式法等

一元二次函數的性質

（1）圖象性質：對軸、頂點、圖象形狀；

（2）單調性

（3）奇偶性

（4）最大值或最小值

一元二次不等式解法

（1）因式分拆法

（2）區間分析法

2.探索

T：我們利用上述學過的方法，來實踐一下：

例1 （1）解方程：x²-x-6=0;

（2）解不等式:x²-x-6＞0,x²-x-6＜0;

（3）作二次函數y=x²-x-6的圖象.

在探索的過程中，從學生舊的認知結構出發，引出相互之間的矛盾.

T：我們解決了上述問題，你能分析（1）、（2）、（3）之間的聯系嗎？這里解決的是一元二次方程和一元二次不等式，實質上是一元二次函數的特殊情況，并為以下解決二次函數的變化引起方程和不等式的變化作鋪墊.

例2 已知二次函數y=x²-x-m,試問：隨著m的變化，二次函數的圖象如何變化？方程x²-x-m=0與不等式x²-x-m＞0和不等式x²-x-m＜0也將如何變化？

這是探索過程中關鍵性的問題，存在字母必然聯系分類討論，而分類的要點是圖象與x軸的交點情況，這些正是本節課的疑惑所在.

3.歸納

T：根據上面的結論，你能得出一元二次函數、一元二次方程和一元二次不等式之間存在的一般性結論嗎？請各小組討論，10分鐘后提交組總結發言稿，進行展示.

教師進行評價各組成果，強調數學思想方法在實踐的運用，同時逐一澄清錯誤，并進行糾正.

4.小結

讓學生根據自己探索和歸納過程，回顧和整理這節課主體思路.

5.作業

已知函數f(x)=2(m+1)x²+4mx+3m-2,試問：根據m的不同取值，你能得出多少結論？

作業設計的目的是增加開放度，使不同層次的學生都嘗試功.

案例二 異面直線的夾角（例題教學）引言

T：我們已經學了異面直線、異面直線所成角的定義，現在我們運用所學的知識來解決下面的問題.

例3 如圖（1）所示，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱、正方體面對角線（如BD）和正方體對角線（如A₁C）之間，

問題1：你能找出幾類異面直線，并各有幾對？

設計該問題，是讓學生在舊知識異面直線判斷的基礎上，激勵學生的思維，同時，自然的引導學生作異面直線所成的角.

問題2：你能對這些異面直線所成角的作法進行歸類？

這問題是本例教學中的重點難點，是激發學生空間想象和思維活動的全方位展開，從學生認知規律出發，層層深入，獲得學習的過程和方法.

問題3：你能求這些異面直線所成的角嗎？

這時已水到渠成，學生已能從復雜的空間圖形中分離出平面圖形，通過解三角形能順利的求解.

本例題是以正方體為知識載體,通過找異面直線所成角,作異面直線所成角,求異面直線所成的角,充分發揮例題的教學功能.從上述源問題與子問題的關系，通過學生去實踐操作，同時把正方體空間圖形進行多媒體的演示，突出思維能力訓練和空間想象能力的培養.

三、數學開放式教學案例的分析

案例一的教學設計是通過學生課外收集資料、圖象觀察、式的變化與圖的變化，開放課外和課堂學生數學活動，再引入開放性問題來深化學生思維，在歸納出一般性結論后，留給學生繼續思考和探討，來實現開放式教學.

由于教學由“探索”及“歸納”這兩個環節組成，每個教學環節必須有一定的時間保證，讓學生通過觀察圖象變化，進行充分思考、討論直到完全解決問題.該課題涉及情況較多，需要分類討論、數形結合等數學思想方法，解決該問題有較多的層次性和延伸性，需要小組甚至與班同學共同合作完成，以便更好地利用時間的空間，改變灌輸的單一教學形式，促使各層次學生相互合作、相互協調，達到共同發展的目標.為實現這些構想，該課例采用了小組合作探索的開放性內容來進行開放式教學，把數學思想方法作為數學的靈魂，結合教學內容逐漸滲透，逐步形成普遍規律，實現數學教學的目標.

案例二的教學設計是在認知規律的導行下，把貫穿全課的數學知識和數學思想方法的設計成“問題源”，在問題中融入“概念的層層深入”與“總結歸納解決問題的方法”，確立課堂教學的主題.在學生的主動參與下，剝蠶抽絲地把問題點到主題上來，而教師的主導性體現在自成系統的教學過程中，一方面，把教學的“信息源”發送到每個學生；另一方面，及時把學生傳輸過來的信息，及時的矯正，及時得到有效的控制，促使教學過程優化，實現教與學的最佳組合.

通過層層深入，擴散學生的思維，構建一個清晰的思維空間，通過歸類分析，達到明確的目標.讓學生在問題的解決過程中，體驗到數學探索與發現的樂趣，感受到數學魅力，領悟到數學的真諦，案例二是以開放題為切入口的開放式教學.

四、數學開放式教學案例的思考

思考1：數學開放式教學與數學思維能力的培養.

由于數學教學的本質是數學思維活動的開展，因此數學課堂上主要是創設問題情境，激活學生的思維，引導學生主動參與課堂教學.在數學開放式教學中，突出了學生主體地位和思維能力的培養，特別是創新思維能力的培養.在教學設計過程中，根據教學內容，設計教學的開放形式，如在問題設計中，考慮能使學生通過動腦、動手、動口積極參與數學思維活動，也能使各層次的學生都有所獲得，同是能使學生逐步深入到問題的本質.

思考2：數學開放式教學應努力遵循的原則.

適時性原則，數學開放式教學重視從學生的生活經驗和已有的知識中學習數學和理解數學，通過對事物和具體模型的感知與操作，獲得數學知識和能力.因而，在設計開放式教學中，必須把握問題的入口與出口，使每個問題都可以原有的認知結構中進行構建；層次性原則，數學開放式教學把教學內容構建一個多層次的立體模式，把不同層次和不同需要的學生，在原有的知識和能力的基礎上都有所獲得；動態性原則，教學內容的處理，把深層次的數學思想方法在問題中充分體現，使得教學內容活起來，在教學中，讓學生對問題從不同角度用不同的方法進行全面的思考，使學生的思維活動起來，教師在課堂上解決問題的突發性和靈活性；探索性原則，數學開放式教學的設計，大多富有探索性，把教學內容創設探索情境，提出開放性問題，或通過常規題改造成開放題進行探索.

思考3：數學開放式教學與合作意識的培養.

在群體中，每個人都有每一個人的長處，每個人都可以找到自己的參照進取目標.因此，進行分組討論式的教學，發揮互補式的交住，樹立集體觀念和互幫互學的合作意識，使每個人都能為集體目標的實現盡心盡力.同時不斷向學生傳授合作的基本技能，使他們學會既善于積極主動地發現自己的意見，敢于說出不同的看法，又善于傾聽別人的意見，相互啟迪，并能夠綜合吸收各種不同的觀點，共同尋找解決問題的思路.在具體實施過程中，教師要及時地有針對性地予以指導，訓練學生養成良好的合作學習習慣.