解抽象函數的思路探究

馮愛雪

普通高中數學課程標準中，函數作為貫穿整個高中數學課程的一條主線.歷年來，也是高考中重要的考點之一，其中抽象函數屢屢出現在高考試卷上.抽象函數由于只給出函數的某些性質，卻不知道函數的解析式，因而成為函數問題中的一個難點.現從以下三個方面作一探討：

一、重視“模型”，對號入座

高中數學課程中，有許多基本的函數模型，高中數學教學的主要任務之一就是把這些基本的函數模型“留”在學生的頭腦中.這些函數模型是學生理解函數和思考其他函數問題的基礎，促進學生對函數本質的理解有重要的意義.

常見的抽象函數與初等函數的對應關系：

二、適當賦值，恰當代換

賦值法是數學中一種重要的解題思路,給關系賦式或給未知數賦值,往往起到柳暗花明,峰回路轉的功效.抽象函數問題也不例外.

反思：賦值法解決抽象函數問題是常用的有效方法，故通過新給的關系式，對其中的變量進行有效賦值.充分利用題設條件和定義,賦值求解.還要注意借助具體模型思考，聯系解題目標賦值.

反思：解決抽象函數問題，需要適當地賦值及恰當地變量代換.本題中就多次賦值，及變量代換.這是解決此類問題的主要思路.

三、聯系性質，關注圖像

函數的性質和圖象是對應關系.首先，要搞清函數的奇偶性、對稱性，周期性的聯系.其次，還要根據題設條件，掌握指定區間單調性.

反思：本題利用函數的奇偶性、周期性，同時也要考慮到函數在0≤x≤1時，f（x）=x的圖象.這樣就萬無一失了.

例2 設函數f（x）在（-∞，+∞）上滿足f（2-x）=f（2+x），f（7-x）=f（7+x），且在閉區間［0，7］上，只有f（1）=f（3）=0．

（Ⅰ）試判斷函數y=f（x）的奇偶性；

（Ⅱ）試求方程f（x）=0在閉區間［-2008，2008］上的根的個數，并證明你的結論．

解：（Ⅰ）因為在［0，7］上，只有f（1）=f（3）=0，

所以f（5）≠0，所以f（-1）≠f（1），

所以f（x）是非奇非偶函數．

（Ⅱ）由已知易得f（x）=f（10+x），

所以10是f（x）的最小正周期，

所以在每一個最小正周期內f（x）=0只有兩個根，

所以在［0，2008］上的根的個數是402個，而在［-2008，0］上的根的個數是401個，即在閉區間［-2008，2008］上的根的個數是803個．

反思：這一道題綜合考察了函數的奇偶性、對稱性，周期性的聯系.f（x）=0既考察了函數根的情況，又考察了函數圖象的變化情況.學生需要對每一個最小正周期（或每一段區間）內f（x）=0根的情況都要搞清.

例3 已知函數y=f（x+1）的圖象如圖(1)所示,則函數y=f-1（x+1）的圖象是( )

分析：由y=f（x+1）圖象向右平移1個單位y=f（x）的圖象關于直線y=x對稱y=f-1（x）的圖象向左平移1個單位y=f-1（x+1）的圖象.故應選D.

總之，對于抽象函數，只要熟練掌握了基本初等函數的定義、性質、圖象，頭腦中再“留住”一批模型.我們就可對關系式賦試，再經過變換，可以揭開其面紗，而識得其“廬山真面目”.

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