近極端低溫事件的密度

摘要通過精確計算獨立同分布的隨機變量集類在近極小值處的態(tài)密度，提供了一個定量分析近極端事件現(xiàn)象的方法。說明了態(tài)密度的均值依賴于隨機過程分布的尾部與冪律尾部的關系，而收斂到兩種不同的極限形式。我們通過驗證南京站點幾十年來的冬天溫度數(shù)據(jù)，得到了比較一致的結論。

關鍵詞極端低溫事件 態(tài)密度 極值分布

中圖分類號:O17文獻標識碼:A

令一列隨機觀察資料{X1，X2，……XN}是獨立同分布的，Xmin是序列里最小的，即:Xmin=min{X1，X2，……XN}一個接近Xmin的自然量——態(tài)密度(DOS)為:

(1)

其中r是可以從最小值中計算出的，并且.

可以通過DOS平均值來顯示(r，N)的極值特性，當N→∞，(r，N)都收斂到P(x)的原始分布.為了計算出(r，N)，首先令公式(1)中最小值.Xmin=x。然后計算出其它的N-1個變量的條件概率密度函數(shù)

.

因此得到公式(1)中條件均值為

.

則在一N個IID隨機變量的集類中，它們的最小值Xmin=x的概率密度函數(shù)是:

(2)

因此，用上面的表達式代替和，通過簡單的代數(shù)運算得到:

(3)

這是個很有用的結果，它對所有的N都是成立的，我們下一步分析其在N充分大時的極值特性。

在IID隨機變量中，眾所周知，min(x)是有極限分布的:

(4)

其中aN和bN依賴于原始分布P(x)和N。極值函數(shù)f(z)的類型依賴于屬于P(x)的尾部，通過計算，可以得到:

(5)

在極值統(tǒng)計中，趨向極值分布的收斂通常是非常的慢的。因此，這將很有意義的去計算，在N充分大時(r，N)的極限。為了這個目的，現(xiàn)在我們考慮p(X)的顯式形式，因此對任何給定的N，通過對公式(3)數(shù)值積分就可以準確的計算出(r，N)，并且關于aN和bN的顯式形式可作為N的一個函數(shù)而得到。最后我們結合實例給出南京44年的極端低溫事件的態(tài)密度的變化情況:

圖1中的(a)和(c)用直方圖給出了南京站的冬季溫度不同數(shù)據(jù)的△T分布。(b)和(d)中實線代表用公式(3)積分得到的最小態(tài)密度的均值，虛線代表收斂函數(shù)(aN+r)，這里aN=0。

從上圖可以看出極端低溫事件的態(tài)密度的均值與原始溫度數(shù)據(jù)的分布有著密切的聯(lián)系，并且隨著溫度數(shù)據(jù)量的不斷增多，收斂的效果會越來越好。通過以上分析，我們可以看出，極端事件的態(tài)密度能很好的揭示極端事件的性質，則可以通過研究極端事件的態(tài)密度來研究極端事件的一些特性。

參考文獻

[1]SanjibSabhapanditandSatyaN.Majumdar，Phys.Rev.Lett.98，140201(2007).

[2]J.Galambos，TheAsymptoticTheoryofExtremeOrderStatistics(Wiley.NewYork.1978)

[3]S.N.MajumdarandP.L.Krapivsky，Phys.Rev.E65，036127(2002).

[4]R.W.Katz，M.B.Parlange，andP.Naveau，Adv.WaterResour.25，1287(2002).

[5]D.R.Easterlingetal.，Science289，2068(2000);S.RednerandM.R.Petersen，

[6]袁東錦.計算方法.南京師范大學出版社，2004.