牛頓插值公式的一個應用

摘要本文從具體例題出發，通過數值逼近中的牛頓插值公式，解決了初等數學中的一類較為復雜的求函數值、求范圍、作證明的相關問題。

關鍵字 牛頓插值公式 函數值 范圍

中圖分類號:O711文獻標識碼:A

牛頓(Newton)插值是數值逼近中的一個重要部分，它向前繼承了拉格朗日(Lagrange)插值，向后引出了埃爾米特(Hermite)插值，可以看作對多項式插值作了一個簡單的統一。相關的研究也是比比皆是。牛頓插值公式具有形式簡單，便于計算等優點。因此，在插值中得到的廣泛的應用。本文將從初等數學的角度來研究牛頓插值公式的有效應用。

1 牛頓插值公式

定義1:若在[a，b]上給出n+1個點，f (x)是[a，b]上的實值函數，則可得f (x)在[a，b]的牛頓插值多項式，

，

(1)

其中插值余項

而則稱之為(n階)差商，記

(2)

所以上定義可知，只要按順序求出0到n階的差商，我們就可以求出已知節點的插值多項式p(x)，而在所求的過程中，前面所求的階差商同時為階差商服務的。當然這也正是牛頓插值公式的優點所在。

定理1:對于上述定義中的牛頓插值多項式是唯一的。(證明參見文獻[1])

定理2:對于定義1中，如果f (x)為多項式函數，則p (x)可以精確表示f (x)。

根據定義1以及定理1，我們不難得到定理2，即如果給定的f(x)本身就是多項式，則我們根據(1)所得的p(x)就應該是f(x)本身了。我們現在就利用這點來解決初等數學中的相關問題。

2 求函數值問題

例1、已知求f(4).

解:(對于一般情況我們會選擇代入后解一個方程組，但當方程組較多是解起來比較麻煩，且易出錯，現以牛頓插值的方法來解)

由定義知，我們可根據(-1，2)，(1，1)，(2，1)三點來作牛頓插值，由定理2知其

可精確表示f(x)，即

則

由(2)式知:

，，

所以

3 求范圍問題

例2、已知 ，且滿足，，，試求的范圍。

解:由公式(1)，現將f (x)在x=1，x=2，x=3三點作牛頓插值，則得到:

再按(2)得，，

所以

故max

min

所以得到:

例3、已知，滿足，求的范圍。

解:同上將在x=1，x=2，x=3點展開，得

由已知條件，方程的一次項系數為零，則通過與上式的比較知:，按(2)式分別計算可得到:，故max，min，所以得到:

4 用作證明

例4、已知，求證:||，||，||中至少有一個不小于1/2。 (下轉第145頁)(上接第138頁)

證明:同上，先做牛頓插值，有

由已知條件知二次項的系數為1，也即:

展開即得

如果||，||，||都小于1/2，則

||+2||+||]

得到矛盾，所以原命題成立。

5 結語

從上可以看出，牛頓插值很好地解決了相關的題目，當然這種方法對于次數更高也是同樣適合的(只要給出的函數是多項式函數即可)，上述例對于高中生來說有一定難度，應用高等數學的知識去做卻變的很簡單。從這里可以看出高等數學的學習對我們中學數學教學的指導具有重要的作用。相信可以作為中學數學教學過程中的一個很好的補充內容。

參考文獻

[1]合肥工業大學數學與信息科學系編.計算方法.合肥:合肥工業大學出版社，2004.

[2] 華東師范大學數學系編.數學分析.北京:高等教育出版社，2001.