函數(shù)連續(xù)性的實質(zhì)與間斷點的學(xué)習(xí)

摘要函數(shù)的連續(xù)性是函數(shù)的重要性質(zhì)，文章通過討論函數(shù)連續(xù)性的四個等價定義，揭示函數(shù)連續(xù)性的實質(zhì)，最后給出求函數(shù)間斷點的步驟方法。

關(guān)鍵詞 連續(xù)函數(shù) 間斷點 極限

中圖分類號:O171文獻標識碼:A

連續(xù)函數(shù)是高等數(shù)學(xué)中著重研究的一類函數(shù)。函數(shù)的連續(xù)性是函數(shù)的基本性質(zhì)之一，它是用極限方法研究函數(shù)解析性質(zhì)的第一個范例，因此函數(shù)的連續(xù)性是函數(shù)極限的發(fā)展也是以后學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，本文通過深刻剖析函數(shù)連續(xù)性與間斷的實質(zhì)幫助學(xué)生真正掌握函數(shù)的這一性質(zhì)。首先給出函數(shù)連續(xù)性的四個等價定義，通過分析等價定義幫助初學(xué)者深刻理解函數(shù)的這一性質(zhì)，最后給出求函數(shù)間斷點的方法。

1 函數(shù)連續(xù)的四個等價定義

定義1設(shè)函數(shù)在的某一鄰域內(nèi)有定義，當自變量在處取得增量(即在這個鄰域內(nèi)從變到)時，函數(shù)值的增量為，如果有極限則稱函數(shù)在處連續(xù)。

定義2設(shè)函數(shù)在的某一鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù)當時的極限存在，且等于它在處的函數(shù)值即，則稱函數(shù)在處連續(xù)。

定義3\"\"定義，設(shè)函數(shù)在的某一鄰域內(nèi)有定義，如果，，||有||成立，則稱函數(shù)在處連續(xù)。

定義4設(shè)函數(shù)在的某一鄰域內(nèi)有定義，如果，則稱函數(shù)在處連續(xù)。

對于函數(shù)的連續(xù)性，不同的教材的定義方式不同，一般式選擇上述四個定義中的一個作為定義，其余的作為推論的形式給出，本文通過剖析上述四個等價定義，揭示函數(shù)連續(xù)性的實質(zhì)。

1.1 關(guān)于定義1

定義1簡單直觀的刻畫了連續(xù)函數(shù)在某一點的自變量的增量和函數(shù)值增量之間的關(guān)系:若當函數(shù)自變量的變化量無限趨于零時，函數(shù)值的該改變量也無限趨于零，則函數(shù)在這一點連續(xù)。連續(xù)函數(shù)的定義最初是逐點定義的，若函數(shù)在一個開區(qū)間內(nèi)的任意一點都是連續(xù)的則稱函數(shù)在這個開區(qū)間區(qū)間是連續(xù)的。

例 1 函數(shù)在處是連續(xù)的。

根據(jù)定義1，要判斷函數(shù)在某點是否連續(xù)只要給自變量一個增量，考查函數(shù)值在自變量的增量趨于零時是否極限是零即可。在此，給自變量增量，求函數(shù)值的改變量，當時，所以函數(shù)在處是連續(xù)的。

1.2關(guān)于定義2

定義2刻畫了函數(shù)的極限與函數(shù)連續(xù)之間的關(guān)系:極限等于函數(shù)值。函數(shù)當時的極限刻畫了函數(shù)在附近的變化趨勢;函數(shù)在處連續(xù)，則揭示了函數(shù)在處不間斷的性態(tài)，從幾何直觀上看，就是函數(shù)的圖像能夠一筆畫成。能夠一筆畫成的曲線上的點應(yīng)該滿足:在任意一點附近函數(shù)值逐漸趨于這一點的極限值，即。定義2同時說明函數(shù)在處連續(xù)包含三層含意:(1)在的某一鄰域內(nèi)有定義，函數(shù)在的值存在;(2)函數(shù)在的極限存在;(3)極限等于函數(shù)值。不滿足上述三條中的任意一條函數(shù)就間斷。

例2判斷函數(shù)在處的連續(xù)性.

由定義2，確定函數(shù)的連續(xù)性，既要考察函數(shù)在處是否滿足上述條件，本函數(shù)中在處有定義且函數(shù)值存在;由無窮小與有界量的乘積為無窮小知，函數(shù)在的極限存在sin。從而有sin即極限等于函數(shù)值，所以函數(shù)在處連續(xù)。

1.3 關(guān)于定義3

定義2的核心是，說明了函數(shù)連續(xù)的實質(zhì)是函數(shù)以處的函數(shù)值為函數(shù)的極限。將函數(shù)在處的極限寫成\"\"語言，即設(shè)函數(shù)在的某一空心鄰域內(nèi)有定義，如果，，0||有||成立，但是函數(shù)在處的極限與函數(shù)在處是否有定義無關(guān)，而函數(shù)的連續(xù)性則揭示了函數(shù)在處的性態(tài)(當然要包含這一點)，函數(shù)在處應(yīng)該取得函數(shù)值，且要求函數(shù)在處的極限正好是。從而在極限的定義中加上這一點即可得到函數(shù)在處的連續(xù)性定義。連續(xù)函數(shù)的\"\"語言定義具有一定抽象性，對初學(xué)者可能有一定的困難，通過結(jié)合極限的概念理解可以得到較好的教學(xué)效果。

1.4 關(guān)于定義4

極限在某一點存在的充要條件是:函數(shù)在這一點的左右極限存在且相等，有定義2可以定義函數(shù)左連續(xù)，右連續(xù)。類似得出函數(shù)在某一點處左右連續(xù)則函數(shù)在這一點連續(xù)，即定義4。

例 3 討論函數(shù)在和處的連續(xù)性.

分析:根據(jù)定義4 判斷函數(shù)的連續(xù)性重要計算函數(shù)在這一點的左右極限是否都等于在這一點的函數(shù)值即可; 在處 。因為(下轉(zhuǎn)第184頁)(上接第182頁)

，所以，但是，，故在處不連續(xù).在處:左極限

右極限

因為，所以不存在，在處不連續(xù).

2 函數(shù)間斷點的求法

函數(shù)在一點處如果不連續(xù)則稱函數(shù)在這一點處間斷，根據(jù)函數(shù)連續(xù)性的定義知，函數(shù)在點滿足下列條件之一，則為函數(shù)的間斷點。

(1)在處沒有定義;(2)極限不存在

(3)在點處有定義，且極限存在但是，根據(jù)連續(xù)函數(shù)的定義和函數(shù)間斷點的定義[2]給出判斷函數(shù)間斷點的步驟:

設(shè)函數(shù)的左右極限分別為

例 4討論函數(shù)，在處的連續(xù)性。

解 求函數(shù)的左右極限，，

，∴為函數(shù)的跳躍間斷點。

例5 求下列函數(shù)的間斷點，并判斷其類型。若為可去間斷點，試補充或修改定義后使其為連續(xù)點。

解因為在處無定義，所以是的間斷點.。

又因

所以為的第一類不可去間斷點(跳躍間斷點)。 在處有定義，但是極限不存在，所以為的第二類間斷點中的無窮間斷點。

在處有定義，而且但是，故為的第一類間斷點中的可去間斷點，若令，則在處連續(xù)。

3 結(jié)論

函數(shù)的連續(xù)性與極限密切相關(guān)，在講解函數(shù)的連續(xù)性時注意通過極限的定義逐漸過渡到連續(xù)的定義。在求函數(shù)間斷點的時候主要從函數(shù)的左右極限入手，考察函數(shù)左右極限是否存在，按照上述方法逐步計算即可。

參考文獻

[1] 馬順業(yè).數(shù)學(xué)分析研究 [M].山東大學(xué)出版社，1996.

[2] 吳贛昌.高等數(shù)學(xué)(上冊)[M].中國人民大學(xué)出版社，2006.