由一題多解探討恒成立問題的幾種解法

摘要： 在函數的教學中，經常遇到求滿足某式恒成立時的參數取值范圍的問題，隨著對代數課程學習的深入，這類題目有著越來越多的不同的解法。而對一個有代表性的例題，通過一題多解，總結一類問題的各種解法之間的內在聯系，將有助于學生系統地掌握數學問題的各種思路和方法。本文通過解析當一個二次函數大于等于零恒成立時，求其參數取值范圍的例題來說明一題多解能將多種知識綜合起來，從而增強學生對數學基礎知識的掌握。

關鍵詞： 一題多解 常見函數 解析

中學數學主要是培養學生對于數學知識的綜合應用能力，對于某一類型問題的求解，可以利用不同的數學思想進行求解，而且都能夠得出相同的結果。隨著數學基礎知識的累積，解題的方法將越來越多，而且靈活多變，甚至有些問題的求解還沒有固定的規律和步驟，這就給學生造成了解題思想的混亂，甚至在知識的理會與應用上產生了混亂。

數學解題的方法較多，看似雜亂無章、毫無關聯，而且各種方法之間似乎也沒有聯系，這樣的數學學習使學生更無法系統地掌握數學基礎知識。但從另外一個方面來講，如果能夠通過不同的方法實現數學問題的解析，將不同知識的內在聯系結合起來，實現將彼此獨立、似不相聯的知識點匯于同一個知識網絡中，進而引導學生從片面的、孤立的思維方式中解脫出來，掌握解決同類數學問題的各種思路和方法，這樣將有助于學生全面而又系統地掌握數學理論知識。

下面就一個常見函數恒成立時參數的取值問題進行多種數學方法的解析，以此論述通過多種解題方法實現數學基礎知識融會與貫穿，以加強學生對于數學思想的理會和應用。

例：已知f（x）=x +ax+3-a，若x∈［-2，2］時，f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍。

〈法一〉分析：解這種數學問題常用的方法之一就是集合思想，即設不等式f（x）≥0的解集為D，若x∈［-2，2］時，f（x）≥0恒成立，則［-2，2］?奐D即可。

解：設f（x）=x +ax+3-a的解集為D，

則由題設知D?勱［-2，2］，

故（1）若D=R，即△=a -4（3-a）≤0時滿足條件，故-6≤a≤2時滿足條件。

（2）若D≠R，即△＞0，則可設f（x）=0的兩根為x ，x （其中x ＜x ）

則D=（-∞，x ］∪［x ，+∞）D?勱［-2，2］，

則x ＞x ≥2或x ＜x ＜-2。

故a滿足：

①△=a +4a-12＞0（x -2）+（x -2）=-a-4＞0（x -2）（x -2）=x x -2（x +x ）+4=3-a+2a+4≥0

或②△=a +4a-12＞0x +2+x +2=-a-4＜0（x +2）（x +2）=x x +2（x +x ）+4=3-a-2a+4≥0

解①得-7≤a≤-6，

解②得?準，

即-7≤a≤-6時滿足條件，

由（1）（2）知-7≤a≤2為所求。

此解析方法通過求函數恒成立問題時的參數取值范圍，將集合知識與函數知識結合起來，利用集合的知識求出函數的取值。這樣的解題思路可以使學生在復習函數問題時，將集合知識也聯系到函數問題之中，實現多種知識的綜合應用。

〈法二〉分析：本例也可以運用直接求最值思想，求不等式左邊對應函數的最值，以此來求參數的取值范圍。

解：若x∈［-2，2］時，f（x）≥0恒成立，

等價于x∈［-2，2］時，f（x） ≥0，

則（1）當- ＜-2，即a＞4時，

f（x） =f（-2）=7-3a≥0，

解得?準。

（2）當-2≤- ≤2，即-4≤a≤4時，

f（x） =f（- ）=3-a- ≥0，

解得-4≤a≤2。

（3）當 ＞2，即a＜-4時，

f（x） =f（2）=7+a≥0，

解得-7≤a＜-4。

由（1）（2）（3）知-7≤a≤2為所求。

最值問題在中學數學中出現較多，通過求最值來求解參數的取值范圍是解決此類問題的常用手段之一。

〈法三〉分析：在最值解析的基礎上，本例還可以運用分離變量的方式，將參數分離，從而構造新的函數，用求新函數的最值來求參數的取值范圍。

解：若x∈［-2，2］時，f（x）≥0恒成立，

即x +ax+3-a≥0對任意x∈［-2，2］恒成立，

則有：x +3≥a（1-x）對任意x∈［-2，2］恒成立。

（1）當x=1時，a∈R均成立；

（2）當x∈［-2，1）時，有1-x＞0，

則有 ≥a成立。

令g（x）= ，x∈［-2，1），

則上式等價于g（x） ≥a，

g（x）= =

=（1-x）+ -2≥2 -2=2

當且僅當（1-x）= ，x∈［-2，1）即x=-1時等式成立，

g（x） =2，

當x∈［-2，1）時，有2≥a。

（3）當x∈（1，2］時，則1-x＜0，則有 ≤a成立，

令h（x）= ，x∈（1，2］，

則上式等價于h（x） ≤a，

h（x）= =

=（1-x）+ -2=-［（x-1）+ ］-2

令t=x-1∈（0，1］，

則u（t）=t+ ，t∈（0，1］，

則t∈（0，1］時，u（t）=t+ 單調遞減，

故u（t） =u（1）=1+ =5，

此時有h（x） =-5-2=-7，

當t=1即x=2時有h（x） =-7，

故當x∈（1，2］時，-7≤a，

由（1）（2）（3）得-7≤a≤2為所求。

通過上述三種方法的解析，可以看出同一數學問題往往有多種解法，而這些方法又是基于不同的數學思想，且這些思想之間又有著直接的聯系。其中集合思想是數學的基礎，而在運用集合思想的同時，又可以自然地與最值問題相聯系，將最值問題進一步擴散，就形成了分離變量的最值問題。

由此可見，數學問題的解析方法雖然較多，知識雖然看似龐雜零亂，但在教學實踐當中，通過一題多解，利用不同的方法分析問題，將有助于學生把相互聯系的數學基礎知識串聯起來，加深對數學解題思想的理解，提高學生的綜合應用能力，并最終開發學生的創造靈感，有效培養學生的發散性思維。

參考文獻：

［1］何先俊.恒成立問題的求解策略［J］.數學教學通訊，2004，（S6）.

［2］胡忠南.淺議“恒成立”問題的解法［J］.福建中學數學，2005，（6）.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”