概率在實際生活中的應用

摘要： 本文介紹了概率的某些知識在實際問題中的應用，主要圍繞古典概率、全概率公式、數學期望等有關知識，探討概率知識在實際生活中的廣泛應用，進一步揭示概率統計與實際生活的密切聯系。

關鍵詞： 概率 古典概率 全概率公式 數學期望

隨著人類社會的進步，科學技術的發展，經濟全球化的日益進程，數學在生活中的應用越來越廣，生活中的數學無處不在。數學的一個非常重要的分支——概率論，在眾多領域內扮演著越來越重要的角色，取得了越來越廣泛的應用。正如英國邏輯學家和經濟學家杰文斯所說：概率論是“生活真正的領路人，如果沒有對概率的某種估計，我們就寸步難行，無所作為”。

概率論滲透到生活的方方面面，從而為我們的日常生活帶來方便，下面從三個方面來討論概率在實際生活中的具體應用。

1.古典概率的應用

古典概率是概率里最早的一種最簡單的概率模型，也是應用最廣泛的概率。許多實際問題都可以將其轉化為古典概率加以解決。

例1：在斯諾克臺球比賽中，我國運動員丁俊暉與國外運動員奧沙利文相遇，根據實際排名和以往的戰績統計，每賽一局丁俊暉勝的概率為0.45，奧沙利文勝的概率為0.55。若比賽既可采用三局兩勝制，也可以采用五局三勝制，問采用哪種賽制對丁俊暉更有利?

具體分析如下：

（1）采用三局兩勝制：設A 表示丁俊暉勝前兩局，A 表示前兩局中二人各勝一局，第三局丁俊暉勝，A表示丁俊暉勝，則A=A ∪A ，而P（A ）=0.45 =0.2025，P（A ）=（0.45 ×0.55）×2=0.22275。

由于A 與A 互斥，由加法公式得

P（A）=P（A ∪A ）=P（A ）+P（A ）=0.2025+0.22275=0.42525

（2）采用五局三勝制：設B表示丁俊暉勝，B 表示前三局丁俊暉勝，B 表示前三局中丁俊暉勝兩局，奧沙利文勝一局，第四局丁俊暉勝，B 表示前四局兩人各勝兩局，第五局丁俊暉勝，則B=B ∪B ∪B ，而P（B ）=0.45 =0.091125，

P（B ）=C0.45 ×0.55×0.45=0.150356，

P（B ）=C0.45 ×0.55 ×0.45=0.165392，

所以P（B）=P（B ∪B ∪B ）=P（B ）+P（B ）+P（B ）

=0.091125+0.150356+0.165392=0.4069

由于P（B）＜P（A），故采用三局兩勝制對丁俊暉有利，但從公平性而言，因丁俊暉勝的概率為0.45，奧沙利文勝的概率為0.55，所以“五局三勝制”更公平、更合理。在實際比賽中，采用的是十九局十局勝制，更為公平、合理，結果是丁俊暉輸了（斯諾克大師賽中的比賽結果），如果采用三局兩勝制，丁俊暉就有可能戰勝奧沙利文。

類似的利用古典概率求解的案例有許多，比如博彩、產品抽樣檢查等。利用古典概率求解實際問題時并不都是這么容易的，而許多古典概率的計算相當困難而富有技巧，計算的要點是給定樣本點，并計算它的總數，再計算有利場合的數目。

2.全概率公式在實際問題中的應用

全概率公式是概率論中一個重要的公式，在實際中同樣有廣泛的應用。先引進定義：設B ，B ，…B 為樣本空間Ω的一個劃分，即B ，B ，…B 互不相容，且 B =Ω，P（B ）＞0，i=1，2，…n，則對任一事件A有P（A）= P（B ）P（A/B ）。

例2：假設100張獎券中有3張是中獎券，現有10人依次抽取，每人抽一張，那么第一位抽獎者是否比第二位抽獎者中獎的幾率更大一些呢?

分析：設A表示第一位抽獎者是中獎者，B表示第二位抽獎者中獎，依全概率公式得P（A）=C/C=3/100，

P（B）=P（A）P（B/A）+P（ ）P（B/ ）= × + × = ，

因此第一位抽獎者與第二位抽獎者中獎的幾率一樣大。事實上，所有抽獎的人中獎的幾率都相等，這說明能否中獎與抽獎次序無關，因此抽獎是公平的。

類似的利用全概率公式求解的案例有許多，比如工廠有多條流水線，求故障發生概率就是利用全概率公式求解，或者已知故障發生概率，追究不同流水線應承擔的責任，利用的是全概率公式的反向——貝葉斯公式。在利用全概率公式求解實際問題中，關鍵是對問題的合理劃分，考慮所有可能導致問題發生的情況。

3.數學期望在求解最大利潤問題中的應用

如何獲取最大利潤不但成為商界追求的目標，同時還為越來越多的人所關注。許多數學模型也從概率角度利用期望求解最大利潤問題，為問題的解決提供新的思路。下面就是一道應用期望探討利潤的問題：

設某產品每周需求量Q取1，2，3，4，5為值，是等可能的。生產每件產品的成本為C =3元，每件產品的售價為C =9元；設售出的產品以每件C =1元的費用存入倉庫。問生產者每周生產多少件產品能使所期望的利潤最大？

此問題的解決先是建立利潤與銷售量的函數，然后求利潤的期望，即求關于銷量P的函數的期望得到關于生產量H的函數，再求函數的導數，根據原函數和導函數的關系，以及極值與導數的性質得出結果。

此外，期望的思想用于某項活動中，可以減少工作量，保險、股票等風險投資都帶有一定的隨機性，運用數學期望這一隨機變量的總體特征來預計收益或決策投資比較客觀。

參考文獻：

［1］李賢平.概率論基礎［M］.高等教育出版社，1997.

［2］趙秀恒等.概率論與數理統計［M］.河北教育出版社.

［3］謝國瑞等.概率論與數理統計［M］.高等教育出版社，2003.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”