利用兩個結論解定積分

摘要： 本文利用三倍角公式及思想，給出三角積分的簡單求法。

關鍵詞： 三倍角公式 積分 求法

中學階段我們學過這樣兩個三倍角公式：

sin3θ=3sinθ-4sin θ（1）

cos3θ=4cos θ-3cosθ（2）

在大學階段學習定積分時，也可用此結論簡化積分的求法。

1 公式的直接運用

例1［１］：求 dx。

解：令x=sint，則x =sin t，dx=costdt。

當x=0時，t=0;當x=1時，t= 。

原式= #8226;costdt=t#8226;sin tdt。

因為：sin3t=3sint-4sin t?圯sin t= （3sint-sin3t）

原式= t#8226;（3sint-sin3t）dt

= 3t#8226;sintdt- t#8226;sin3tdt

=- t#8226;d（cost）+ × t#8226;d（cos3t）

= 。

例2［１］：求cosx#8226;cos2xdx。

解：注意到題中cosx#8226;cos2x可以對其進行變換，因為由cos3x=4cos x-3cosx，得 （cos3x+cosx）= （4cos x-2cosx）=（2cos x-cosx）=cosx#8226;（2cos x-1）=cosx#8226;cos2x。

原式= （cos3x+cosx）dx

= cos3xdx+ cosxdx

= sin3x|+ sinx|

=1 。

2 對稱思想的應用

公式（1）和（2）反映了三角函數的“對稱思想”，因此我們也可以用這種思想處理三角積分。

例3［２］：求I= dx。

解：構造對稱積分：J= dx。

則I+J= dx=x+c

I-J= dx=- dx=-ln|sinx+cosx|+c

原式I= （x-ln|sinx+cosx|）+c。

參考文獻：

［1］于慶年，趙臨龍，李關民.微積分（經濟類）（第二版）.中國人民出版社，2007.7.

［2］李友海.巧用函數的對稱性求某些三角積分.安康師專學報，1996.2.

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