在數(shù)學(xué)教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探索

數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)指出要倡導(dǎo)積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式。學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，高中數(shù)學(xué)課程還應(yīng)倡導(dǎo)自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方式，這些方式有助于學(xué)生發(fā)揮學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過程；同時(shí)設(shè)立“數(shù)學(xué)探究”、“數(shù)學(xué)建?！钡葘W(xué)習(xí)活動(dòng)，為學(xué)生形成積極主動(dòng)的、多樣的學(xué)習(xí)方式進(jìn)一步創(chuàng)造有利的條件，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，鼓勵(lì)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中養(yǎng)成獨(dú)立思考、積極探索的學(xué)習(xí)習(xí)慣，力求通過各種不同形式的自主學(xué)習(xí)、探究活動(dòng)讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識(shí)。

在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中教師應(yīng)發(fā)揚(yáng)民主，成為學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)的組織者、引導(dǎo)者、合作者，要善于激發(fā)學(xué)生的潛能，鼓勵(lì)學(xué)生大膽創(chuàng)新與實(shí)踐，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)地觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)，從而使學(xué)生形成自己對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和有效的學(xué)習(xí)策略。以下是筆者在數(shù)學(xué)教學(xué)中的一些嘗試。

一、事件的分類和概率的定義

紛繁的自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象，從結(jié)果能否確定的角度可分為兩大類：確定事件和不確定事件，確定事件包含必然事件和不可能事件，不確定事件即隨機(jī)事件。必然事件和不可能事件不論在事件發(fā)生前還是發(fā)生后其結(jié)果都是確定的，隨機(jī)事件是在事件未發(fā)生前對(duì)事件的結(jié)果無法預(yù)先確定。

一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生既有隨機(jī)性（對(duì)單次試驗(yàn)而言），又存在著統(tǒng)計(jì)規(guī)律（對(duì)大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)而言），從哲學(xué)的觀點(diǎn)講這是偶然性與必然性的統(tǒng)一。在這里要強(qiáng)調(diào)大量重復(fù)試驗(yàn)這個(gè)前提。在引入概率定義以后要強(qiáng)調(diào)概率是頻率的穩(wěn)定值，因?yàn)檫@是許多中學(xué)生出錯(cuò)的根源。例如可以問學(xué)生一個(gè)問題：一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的概率為，某人試驗(yàn)了100次，結(jié)果發(fā)生了12次，這可能嗎？再問學(xué)生，這個(gè)人試驗(yàn)了100次是不是結(jié)果一定發(fā)生了10次呢？教師要引導(dǎo)學(xué)生客觀辯證地看待生活實(shí)際中的一些問題，樹立學(xué)生的辯證唯物主義思想。如舉下面一個(gè)例子：我省某地區(qū)舉行現(xiàn)場(chǎng)發(fā)行福利彩票活動(dòng)，廣告宣傳中獎(jiǎng)率為20%，且一等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金數(shù)額很誘人。一位老農(nóng)看到現(xiàn)場(chǎng)不時(shí)傳來中獎(jiǎng)的喜訊，于是做著發(fā)財(cái)夢(mèng)去摸獎(jiǎng)，結(jié)果連家中賣牛的錢都摸光了也沒中一次獎(jiǎng)。學(xué)生通過討論這個(gè)問題，能深刻理解“中獎(jiǎng)率為20%”的含義，從而形成健康的心理，用一種理性、平和、富有愛心的心態(tài)對(duì)待現(xiàn)實(shí)生活中的各種摸獎(jiǎng)活動(dòng)，并能激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高解決實(shí)際問題的能力。

二、等差數(shù)列的求和公式

1.創(chuàng)設(shè)情景，引入新課。

我們已經(jīng)熟悉了等差數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式a=a+（n-1）d。在教學(xué)中，筆者先給學(xué)生講了一個(gè)故事：高斯是德國(guó)偉大的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家，在他10歲那年，有一次，老師出了一道題目：1+2+3+…+100=？正當(dāng)大家忙著計(jì)算的時(shí)候，高斯站起來答道：1+2+3+…+100=5050。（講數(shù)學(xué)史料故事，激發(fā)興趣）筆者提問：你能說出高斯解題的方法是什么嗎？（學(xué)生知道運(yùn)用首尾配對(duì)這一方法）筆者再問：你能很快地得出1+2+3+…+48+49的答案嗎？（為了避免學(xué)生對(duì)“首尾配對(duì)”這一認(rèn)識(shí)僅處于模仿記憶狀態(tài)，因此設(shè)計(jì)了此問題，以促使學(xué)生對(duì)“首尾配對(duì)”法進(jìn)一步理解）

2.互動(dòng)探索，研究實(shí)質(zhì)。

提問：1+2+3+…+n=？又如何求呢？（通過比較得出“首尾配對(duì)”的算法運(yùn)用需分項(xiàng)數(shù)的奇偶進(jìn)行討論，但由于結(jié)論S=與n的奇偶無關(guān)，進(jìn)而提問有無簡(jiǎn)單方法）

提問：既然結(jié)論與n的奇偶無關(guān)，那么是否有更簡(jiǎn)單的方法？

追問：用什么方法可以得到上述結(jié)論中的n+1呢？

∵S=1+2+3+…+（n-1）+n

S=n+（n-1）+…+3+2+1

∴2S=（1+n）+…+（1+n）

S=。

這種求和的方法稱為“倒序相加法”。

提問：已知等差數(shù)列｛a｝，則其前n項(xiàng)的和S如何求？

S=a+a+a+…+a（1）

S=a+…+a+a+a（2）

哪個(gè)同學(xué)能起來說一說呢？（大家都舉起手來）

生甲說：

將（1）（2）相加得2S=（a+a）+（a+a）+…+（a+a），（等差數(shù)列的性質(zhì)：a+a=a+a=…必須加以證明）

或者2S=（a+a）+（a+d+a-d）+…+［a+（n-1）d+a-（n-1）d］，

∴2S=n（a+a）。

由此得S=。

至此得到了一種等差數(shù)列前n項(xiàng)和的表示，它的前提是知道a，a，n。而通常情況下確定一個(gè)等差數(shù)列，只需確定a，d。那么，已知a，d，n，怎樣求S呢？

生乙說：

將a=a+（n-1）d代入得S=na+。

還有沒有其它的解法呢？（稍候片刻）

生丙說：

S=a+（a+d）+…+［a+n（n-1）d］

=na+［1+2+…+（n-1）］d=na+。

以上解法，歸根結(jié)底，是通過用a，d，n表示數(shù)列中的各項(xiàng)，把問題轉(zhuǎn)化為求一個(gè)特殊等差數(shù)列的1+2+…+（n-1）的和，而它正是“倒序相加法”的應(yīng)用。等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可用a，d，n表示。那么，已知a，a，n，怎樣求S呢？

生丁說：

將d=代入上式得S=。

3.回歸建構(gòu)，提高能力。

已知等差數(shù)列{a}中，a=50，a=15，求S。

已知等差數(shù)列{a}中，a=0.7，a=1.5，求S。

求1000以內(nèi)能被7整除的所有自然數(shù)之和。

南北朝《張丘建算經(jīng)》：今有女子善織布，逐日所織布以同數(shù)遞增，初日織五尺，計(jì)織三十日，共織九匹三丈，問日增幾何？（一匹為四丈）

4.總結(jié)提煉，升華認(rèn)識(shí)。

運(yùn)用從特殊到一般的方法得到了等差數(shù)列前n和公式S==na+。探究過程中得到了一種重要的求和方法，“倒序相加法”。

數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，是師生之間、學(xué)生之間交往互動(dòng)與共同發(fā)展的過程。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，創(chuàng)設(shè)有助于學(xué)生自主學(xué)習(xí)的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)踐、思考、探索、交流獲得知識(shí)，形成技能發(fā)展思維，促使學(xué)生在教師指導(dǎo)下生動(dòng)活潑地、主動(dòng)地探索學(xué)習(xí)。