高中物理解題重要方法：微元法

引：如圖1所示，用一大小不變的力F拉著物體沿一半徑為R的圓周運動一周，力F方向始終沿切線方向，求F所做的功。

分析：此為變力做功，若套用公式W=FL，由于運動一周位移為0，則W=0。

但實際情況是：變力F始終與運動方向相同，變力F始終作為動力做功，因此在物體運動一周過程中，變力F應該做正功。

解決問題的方法：可用微元法將曲線分成無限個小元段△L。每一小元段由于無限小，都可以看成是直線，從而在每一小元段內，可看成是恒力F在做功：W=F·△L，總功為各個小元段做功的代數和：W=∑W=∑F·△L=F∑△L=F·2πR=2πRF。

微元法是分析、解決物理問題的常用方法，也是從部分到整體的思維方法。用該方法可以使一些復雜的物理過程用我們熟悉的物理規律迅速地加以解決，使所求的問題簡單化。在使用微元法處理問題時，需將研究對象（物體或物理過程）進行無限細分，分解為眾多微小的“元過程”，而且每個“元過程”所遵循的規律是相同的。微元可以是一小段線段、圓弧，一小塊面積，一個小體積、小質量，一小段時間……但應具有整體對象的基本特征。這樣，只需分析這些“元過程”，然后將“元過程”進行必要的數學方法或物理思想處理，問題便可解決。微元法是采用分割、近似、求和、取極限四個步驟建立所求量的積分式來解決的。

例1：設某個物體初速度為v，做加速度為a的勻加速直線運動，經過時間t，則物體的位移與時間的關系式為x=vt+at，試推導。

解析：作物體的v-t圖像，如圖2把物體的運動分割成若干個小元段，由于每一小元段時間△t極短，速度可以看成是不變的，設為v，則在此△t時間內物體的位移為x=v△t，物體在時間t內的位移為x=∑x=∑v△t，在v-t圖像上則為若干個矩形面積之和。

圖2

當把運動過程分得非常非常細，若干個矩形合在一起就成了梯形OABC。圖線與軸所夾的面積，表示在時間t內物體做勻變速直線運動的位移。

S=（OC+AB）·OA，所以x=（v+v）t。

又v=v+at，聯立得x=vt+at。

例2：利用力－位移圖像可求功。設彈簧處于原長時彈簧的彈性勢能為零，試推導當彈簧形變量為x時彈簧的彈性勢能表達式為E=kx，其中為彈簧的倔強系數。

解析：彈簧從處于原長到被拉長的過程中，若克服彈力做功為W，則E=W。但彈力F為變力，W≠Fx。怎么求變力所做的功？

根據F=kx作F-x圖像，如圖3，把彈簧的伸長運動分割成無數個小元段。由于每一小元段伸長量△x極短，彈力可以看成是不變的，設為F，則在此過程中彈力做功為：△W=F△x。

圖3

彈簧在伸長x過程中彈力做功為：W=∑△W=∑F△x，在F-x圖像上則為若干個矩形面積之和。當把彈簧伸長過程分得非常非常細，若干個矩形合在一起就成了三角形OAB，圖線與x軸所夾的三角形面積就表示彈簧在伸長過程中彈力做的功。

S=·OA·OB，所以W=x·kx=kx，即E=kx。

例3：質量為m的物體從高為n的山頂，沿如圖4所示的曲線滑到山腳，用微元法求重力做功多少？

圖4

解析：把物體從山頂到山腳所經過的曲線路段分割成無數個小元段，由于每一小元段△L都很小，可認為△L段為直線。設△L段斜面頂角為α，則物體通過△L段重力做功為：△W=mg·△L·cosα=mg·△h。

∴物體從山頂滑到山腳重力所做的總功W=∑△W=mg∑△h=mgh。

例4：如圖5所示，將質量為m的物體從山腳拉到高為h的山頂，且拉力總是與物體所經過的坡面平行，已知物體與坡面的摩擦系數為μ，山腳到山頂的水平距離為s，求將物體從山腳拉到山頂至少要做多少功？

圖5 圖5′

解析：物體在拉力作用下從山腳拉到山頂，重力勢能增加，需要拉力做功；又因為物體與山坡間有摩擦力作用，所以同時還要克服摩擦力做功。故拉力所做的總功最小值為物體重力勢能的增加量與克服摩擦力做功之和。

摩擦力在山坡的不同位置其方向、大小都不相同，要求出克服摩擦力所做的功，可把物體從山腳到山頂所經過的曲線路段分割成無數個小元段，由于每一小元段△L都很小，可認為△L段為直線，摩擦力方向、大小都不變。通過取一微元段進行分析，進而求得全過程摩擦力做的總功。

解答：當把物體緩慢地拉到山頂時，拉力做功最少。

該過程中，物體重力勢能的增加量為：△E=mgh。

如圖5′，把物體從山腳到山頂所經過的曲線路段分割成無數個小元段，由于每一小元段△L都很小，可認為△L段為直線。設△L段斜面傾角為θ，則該小段△L過程中摩擦力為恒力，且f=μmgcosθ。

物體通過△L段克服摩擦力做功為：△W=f·△L=μmgcosθ·△L=μmg·△s。

物體從山腳到山頂克服摩擦力做的總功為：W=∑△W=μmg∑△s=μmgs。

綜上所述知：將物體拉到山頂，拉力至少要做的功為：W=△E+W=mgh+μmgs。

例5：某行星圍繞太陽C沿圓弧軌道運行，它的近日點A離太陽的距離為a，行星經過近日點A時的速度為v，行星的遠日點B離開太陽的距離為b，如圖6所示，求它經過遠日點B時的速度v的大小。

圖6 圖6′

解析：此題可根據開普勒第二定律用微元法求解。設行星在近日點A時又向前運動了極短的時間△t，由于時間極短，如圖6′，可以認為行星在△t時間內做勻速圓周運動，線速度為v，半徑為a，可以得到行星在△t時間內掃過的面積為：s=v△t·a。

同理，設行星在經過遠日點B時也運動了相同的極短時間△t，則也有：s=v△t·b。

由開普勒第二定律可知：s=s，聯立得：v=v。

總之，“微元法”作為高中物理的一個重要物理思想，在被應用于物理解題時，通常化“變”為“恒”，把題中給出的變化的事物或題中反映的變化的過程轉化為極為簡單的不變的事物或不變的過程來處理。其常用手段為：通過限制“變化”賴以發生的“時間”和“空間”來限制“變化”。由于一切“變化”都必須在一定的時間和空間范圍內才可能得以實現，因此“微元法”就抓住“變化”的這一本質特征，通過限制“變化”所需的時間或空間來把變化的事物或變化的過程轉化為不變的事物或不變的過程。