淺談微積分發展史

摘要本文從對“數學”這一概念的定義出發，向大家闡述了微積分發展的歷史:我們可以知道客觀的社會需求和科學研究的需要，促使了微積分的產生和發展，并不斷的深入和擴展。

關鍵詞正流數學反流數學流量流數

中圖分類號:O172文獻標識碼:A

1 微積分的創立

牛頓是一位偉大的科學家，在數學、力學、物理學、天文學、化學和自然哲學方面都有突出貢獻。有關他的傳記和成果的介紹不勝枚舉，任何一本數學通史專著都必然提到牛頓，他的影響是劃時代的，僅就數學而言，他創立的微積分就已成為現代數學的主干。

據牛頓自述，他于1665年11月發明正流數學(微分法)。1666年5月建立反流數學(積分法)。1666年10月寫成一篇總結性論文，在朋友和同事中傳閱，現以《1666年10月流數簡論》著稱。這是歷史上第一篇系統的微積分文獻。

牛頓提出流數的基本問題是:(a)設有二個或更多物體A， B， C……在同一時刻描畫線段x，y，z……。己知表示這些線段關系的方程，求它的速度p，q，r……的關系。(b)己知表示線段x和運動速度p，q之比p/q的關系方程式，求另一線段y。對于問題a，首先將所有的項移到方程的一邊，成為多項式，使其和等于0，例如牛頓給出的解釋相當于。為了證明這一結果，牛頓采用時間的無窮小瞬的概念，指出若在某一瞬己描畫的是和，則到下一瞬他們將變成和，以和代換方程中的和。例如方程。代換后展開得消去和為零的項，并以除余下的項得。此時牛頓指出“其中含的那些項為無限小”略之得即為解。

牛頓后來引入了被普遍使用的流數記號，即用帶點的字母表示其流數。例如上例中用表示，表示，則上式結果可記為--2d相當于分別對和求導。

牛頓將正反微分運算應用于16類問題，展示了牛頓算法的普遍性與系統性。

1669年牛頓完成《運用無窮多項式方程的分析學》，重申“微積分基本定理”，廣泛地利用無窮級數做工具，給出求曲線下面積的一般方法，并發現若干函數的無窮級數展開式。

1671年，牛頓完成專著《流數法與無窮級數》，首次使用“流數”這一術語。其中稱連續變動的量為“流量”，稱這些流量的變化率(導數)為“流數”，于是這一新學科就被稱為“流數術”或“流數法”。

1687年，牛頓的名著《自然哲學之數學原理》出版，首次公開表述了他的微積分方法。此時距他創造微積分己過去22年。全書沒有明顯的分析形式的微積分運算，而是以綜合語言寫成。牛頓推崇說:“幾何學的榮耀在于，它從別處借用很少的原理，就能產生如此眾多的成就。”他首先建立了“首末比方法”，即借助幾何解釋把流數理解為增量消失時獲得的最終比，相當于求函數自變量與應變量變化之比的極限，這是極限方法的先導。由此引導出微積分方法，并用于引力，流體阻力，聲，光，潮汐，慧星乃至宇宙體系，充分顯示了這一新數學工具的威力，為微積分的應用開辟了廣闊前景。

萊布尼茨與牛頓有許多相似之處:都是名垂青史的哲學家，都是對多種學科有重大貢獻的學者，都是當時各自國家科學界的領袖人物，都是一生未婚，都很愛國，逝后都被塑像供后人瞻仰。其中最相似的貢獻就是幾乎同時各自獨立地發明了微積分。

1666年萊布尼茨寫成《論組合術》，討論平方數列的性質。例如其一階差為奇數列，二階差恒為2，三階差就“消失”。他用x表示序列中項的次序，用y表示這一項的值，接著討論了多種組合性質。這是萊布尼茨寫的第一篇數學論文，其優良的符號用法，函數對應思想以及求差分的思想為以后微積分創作奠定了基礎。

1684年萊布尼茨在《學藝》雜志上第一次發表了他的微分學論文，時間上比牛頓的《原理》早了3年，這使該文成為世界上最早公開出版的微積分文獻。全文僅6頁名字卻很長，一般簡譯為《一種求極大極小和切線的新方法》，其中含有現本微分法則，給出極值的條件及拐點的條件等結果。1686年萊布尼茨又在同一雜志上第一次發表他的積分學論文《深奧的幾何與不可分量和無限的分析》，其中指出如果則。他還用積分舉出超曲線的例子，如正矢曲線，或旋轉輪線，并以能用一個議程表示超曲線而滿意。

1693年萊布尼茨在發表的文章中更清楚地闡述了微分與積分的關系，表明他已純熟地掌握了微積分的原理，他還給出了求一族曲線包絡的普遍方法，研究了無窮級數和微分方程，對微積分的應用做出了貢獻。

經過牛頓和萊布尼茨之手，微分方法不再是古希臘幾何學的附庸和延展，而成為一門獨立的科學，可以處理更廣泛的問題。

18世紀的主要工作是微分的應用，即分析學的發展。但人們在應用微積分之前首先要擴展微積分本身，由直觀和物理見解指引的形式有了很大的發展。數學家對微積分及隨后產生的分支作了技巧高超的處理。18世紀解決了許多問題，微積分理論基礎問題是由于微積分先天不足帶來的，其促進了微積分的健康發展。

歐洲大陸的學者很快接受了萊布尼茨的優越符號，在伯奴家族、歐拉、達朗貝爾、拉格朗日、拉普拉斯等人的努力下很快獲得豐碩的研究成果，引導了近代數學的發展。

18世紀的幾乎每一位數學家都對微積分的邏輯基礎作了一些努力，或者至少是講了一些這方面的話，但是所有努力均無最后結果，直到19世紀這一狀況才開始改變。

2 分析基礎的確立

分析嚴密化最終是通過算術途徑達到的，最先對分析算術做出貢獻的是捷克數學家、哲學家、邏輯學家波爾查諾。

1817年波爾查諾的名著《純粹分析的證明》出版。其中證明了下面的原理:如果對于兩個連續函數和€%停校紑%停襽%停蠐衳介于。和刀之間，使<€%汀8枚ㄒ宓諞淮吻宄乇礱髁愿拍畹幕〈嬖謨詡薷拍鈧小U飧齠ㄒ逵肟攣骱罄錘齙牧遠ㄒ宀⑽奘抵是稹2ǘ榕抵っ髁碩嘞釷膠橇模故醞嘉徑ɡ碭鲆桓齟克閌醯鬧っ鰲?

1834年波爾查諾寫作《函數論》，第一個把的導數定義為自變量的增量趨向于0時，增量比值無限接近的趨向的量，進一步對極限概念的性質作了深入探討，強調不是與比值，也不是兩個零的商，還不是兩個消失了的量的比，而是前面提出的比趨近一個數，相當于描述函數的記號。他說明有幾何或物理直觀造成的印象并不可靠，連續函數未必都有導數。現在這己成為分析學中的常識。

柯西在其始代表論著《分析教程第一編·代數分析》中給出從變量開始直到函數連續較為嚴格的定義。在其《無限小計算教程概論》中用與波爾查諾同類的辦法定義了連續函數的導數，給出了對定積分最系統的開創性工作，對連續函數給出定積分作為和的極限的確切定義:如果區間[]為x的值LL所分割，假設在[]上連續，分割后最大子區間的長度趨于零，則在區間[]上的積分是|)。他接著定義函數，并且證明了在上連續，令，并且用微分中值定理，證明了，得到微積分基本定理。

阿貝爾是19世紀分析嚴格化的倡導者和推動者。在1826年克雷爾的《純粹與應用數學雜志》阿貝爾發表文章中的一篇中改正了柯西關于“連續函數的一個收斂級數的和一定是連續函數的錯誤結論，并用一直收斂的思想正確的證明了:連續函數的一個一致連續收斂的和在收斂區域內部是連續的。他還得到一些無窮級數的收斂判別準則以及關于冪級數求和的定理。

19世紀在分析學嚴密性的論證中，這些著名的數學家的工作迫使許多數學家改寫原來的著作，將微積分從幾何概念、運動和直覺中解放出來。但這并不意味著分析基礎研究的終結。因為嚴密性所倚賴的實系數尚未嚴格定義，連續函數不可導與不連續函數可積分的例子尚無完滿解釋，某些嚴格分析排除的發散級數也有物理意義。然而這一切正是分析學繼續發展的動力，導致現代分析學的突進。

3 總結與展望

縱觀微積分發展史，我們可以了解到，實驗科學的興起促進了數學的發展，原有的數學知識無法滿足現實的科學研究是微積分產生和不斷發展的源動力，如今進入21世紀，隨著人類在太空領域，微電子領域生物等等領域研究的不斷深入，將促使人們不斷地繼續拓展和深入微積分知識，微積分知識將在越來越多的領域得到更為深入和廣泛的應用。