一道試題的反思，總結，應用

這是某市2008年高三調研卷中的最后壓軸題

題目 已知函數

（Ⅰ）試判斷 在定義域上的單調性；

（Ⅱ）當 時，求證

題目所給的答案如下：

解．（1）

本小題主要考查函數、不等式和導數的應用等知識，考查綜合運用數學知識解決問題的能力．

反思1 如果沒有（Ⅰ）還能證出（Ⅱ）中不等式嗎?

很多同學在感嘆這個解法的簡潔、巧妙的同時. 也在思考：（Ⅱ）中不等式是不依賴于題目中所給的條件而獨立存在的，如果想不到構造（Ⅰ）中的函數，（Ⅱ）中不等式怎么證？有沒有更一般的思路？分析如下：

法一: 原不等式即為

不妨考慮用，

根據求導法則有

當 時， <0，則 在 上單調減，

法二用x替換b，構建如下函數也可證明

法三原不等式還可化為 ，令 則 ，

于是還可構建函數 進行證明

總結： 以上說明對不等式的證明可通過構建函數，研究函數的一些特性（如單調性，極值，最值等），利用這些特性進行證明. 一般地：若證 .

應用（2007#8226;湖北卷）．已知定義在正實數集上的函數 ， ，其中 ．設兩曲線 ， 有公共點，且在該點處的切線相同．

（I）用 表示 ，并求 的最大值；

（II）求證： （ ）．

分析 對（II）中的不等式可直接考慮構建函數

解：（Ⅰ）設 與 在公共點 處的切線相同．

， ，由題意 ， ．

即 由 得： ，或 （舍去）．

即有 ．

令 ，則 ．于是

當 ，即 時， ；當 ，即 時， ．

故 在 為增函數，在 為減于是 在 的最大值為 ．

（Ⅱ）設 ，

則．

故 在 為減函數，在 為增函數，

于是函數 在 上的最小值是 ．

故當 時，有 ，即當 時， ．

反思2還有哪些更好的構造方法？

比較上述三個函數發現：對它們求導，求最小值運算都比較煩瑣，而問題（Ⅰ）中的函數研究相對簡單，怎么能想到該函數呢？……