一道解幾考題的解析及反思

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南通市2009屆高三第二學(xué)期第一次調(diào)研測試數(shù)學(xué)試卷中有一道解析幾何題，題目如下：

如圖，橢圓 (a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，M、N是橢圓右準(zhǔn)線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且 .

（1）設(shè)C是以MN為直徑的圓，試判斷原點(diǎn)O與圓C的位置關(guān)系；

（2）設(shè)橢圓的離心率為 ，MN的最小值為 ，求橢圓方程.

【題目分析】本題主要考查向量、圓、橢圓以及函數(shù)或不等式等知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查學(xué)生的分析問題與解決問題的能力．

本題對學(xué)生所學(xué)知識(shí)的理解有較高要求，有一定的區(qū)分度，表現(xiàn)在（1）因方法選擇的不同，所需要的時(shí)間相差很大；（2）因含有字母運(yùn)算，所以出錯(cuò)率相對也高．滿分15分，均分約為5分，說明本題有一定的難度．

現(xiàn)就閱卷中出現(xiàn)的典型解法，典型錯(cuò)誤，以及解題反思整理出來，以期對教師的教學(xué)和學(xué)生的學(xué)習(xí)起到一定的幫助作用．

【典型解法】

【解法一】（1）設(shè)橢圓 的焦距為2c(c>0)，則其右準(zhǔn)線方程為x＝ ，且F1(－c， 0)，F(xiàn)2(c， 0)．

設(shè)M ，則 ＝．

因?yàn)?，所以 ，即 ，

于是 ，故∠MON為銳角，所以原點(diǎn)O在圓C外．

（2）因?yàn)闄E圓的離心率為 ，所以a=2c，于是M，且

MN2＝(y1－y2)2＝y(tǒng)12+y22－2y1y2 當(dāng)且僅當(dāng) y1＝－y2＝ 或

y2＝－y1＝ 時(shí)取“=”號(hào)，所以(MN)min= 215c＝215，于是c=1， 從而a＝2，b＝3，

故所求的橢圓方程是 .

【解法二】（1）設(shè)直線 斜率為 ，則 的斜率為 ， ，

【解法三】可設(shè) ，則 ，從而求出 ， 后求解( 為 與軸的交點(diǎn))

【典型錯(cuò)誤】

一、基本概念模糊：（1）準(zhǔn)線方程誤寫為 ；（2）相似三角形誤認(rèn)為全等三角形，得到 ；（3）點(diǎn)圓關(guān)系與線圓關(guān)系混淆，將點(diǎn)在圓外錯(cuò)寫成點(diǎn)圓相離．

二、以圖形代替運(yùn)算：（1）由圖誤認(rèn)為 斜率為正，導(dǎo)致表示 時(shí)絕對值符號(hào)丟失；（2）以幾何作圖代替證明過程；（3）寫出M 后，將圖形中M、N的縱坐標(biāo)與M、N到 軸的距離混淆，導(dǎo)致將MN中點(diǎn)坐標(biāo)錯(cuò)寫成 ．