審題偏差 謬以千里

利用導數求曲線的切線方程是導數一章的重要知識點，但如果審題不仔細就會解題錯誤. 下面，談談“求曲線在某點處的切線”與“經過某點求曲線的切線”這一常見問題，供同學們參考.

【題】經過點 求曲線 的切線方程.

【錯解】 ， 所以 ，

又因為切線過 ， 所以切線方程為 ，即 .

【錯因剖析】本解法因審題偏差而導致錯誤. 把問題混淆成“求曲線 在點 處的切線方程”，即錯誤地以為 在曲線上，就可把點 看作切點來解了；本題中的點 是在曲線上，但它 “可能是切點，也可能不是切點”. 在不知切點的情形下，求曲線切線方程的一般方法如下：先設出切點坐標 ，得出切線方程 ，然后將已知點代入切線方程求 ，進而求出切線方程.

【解】設切點的坐標為 ，則切線的斜率為 ，

又因為切點為 ， 所以切線方程為 ，

又因為切線經過點 ，所以 ，

即 ，， ，

解得 或 ，

當 時，切點為 ，切線斜率為 ，切線方程為 ；

當 時，切點為 ，切線斜率為 ，切線方程為 ，即 ；

綜上，所求切線方程為 或 .

讀者自我完成下面練習：

⑴求曲線 在點 處的切線方程；

⑵經過點 求曲線 的切線方程.

附練習答案：⑴ ；⑵ 或 .