淺談均值不等式的應用

均值不等式是不等式一章中的一個重要內容，是高考要考查的一個重要知識點，而均值不等式的應用又靈活多變，下面舉例說明。

基本內容：定理：如果a，b是正數，那么≥（當且僅當a=b時取等號）。

使用注意：一正二定三相等

變式一：a+b≥2， ab≤()

變式二：x>0時，x+≥2；

x<0時， (-x)+(-)≥2，則 x+≤-2。

例1：求f(x)=x(1-3x)的最大值，其中x∈(0，)。

解：f(x)=x(1-3x)=·3x·(1-3x) ≤=，

當且僅當3x=1-3x，x=時取等號。

例2：求f(x)=的值域。

解： f(x)===(x-1)+

當x>1時， x-1>0，f(x)≥·2=，

當且僅當(x-1)=，x=+1時取等號，

當x<1時， x-1＜0，f（x）≤·(-2)=-，

當且僅當(x-1)=，x=-+1時取等號，

綜上，f(x)的值域為(-∞，-]∪[，+∞）。

例3：已知x∈(0，π)，求f(x)=sinx+的最小值。

解：若由f(x)=sinx+≥2=4，當且僅當sinx=2時取等號。

顯然不成立，因為sinx≠2。

正確解法應是：令sinx=t， t∈(0，1]，則f(t)=t+ 。

由導數知識或函數單調性定義證得f(t)=t+在區間(0，1]上單調遞減，當t=1時，則f(t)有最小值13。

例4：求f(x)=x·的值域。

解：∵|f(x)|=|x·|=|x|·=≤=，當且僅當x=±時取等號，∴f(x)的值域為[-，]。

例5：若a，b∈R+，且2ab=a+b+2，（1）求ab的取值范圍;（2）求a+b的取值范圍。

解：（1）∵2ab=a+b+2≥2+2，

∴2ab-2-2≥0，

∴≥或≤ （舍），

∴ab≥=。

（2）∵a+b+2=2ab≤2()2，

∴ (a+b)2-2(a+b)-4≥0，

∴ a+b≥1+或 a+b≤1-（舍）。

例6：已知x，y∈R+，4x2-5xy+4y2=5，求S=x2+y2的取值范圍。

解：∵x2+y2 ≥2|xy|，

∴|xy|≤，

∴ -≤xy≤，

∵4x2+4y2=5+5xy，

∴ -≤xy=≤，

∴ -≤≤，

∴ ≤S≤。

（開封市第二十五中學）