直覺數學題中的理性思維

摘要數學直覺實驗題的解決，不能只注重形式、不及本質、注重直觀。本文從數數、折剪、剪拼三個方面闡述了直覺與理性思維的聯系。數學實驗題的真正解決需要大量的數學知識和嚴密的邏輯思維。

關鍵詞數學實驗題 數數 折剪 剪拼

中圖分類號:G633.6文獻標識碼:A

《數學課程標準》中提出:“有效的數學學習活動不能單純地依賴模仿和記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習的重要方式。”新課程標準中的要求與以往不同的是:強調了學生的動手實踐能力，應運而生了許多直覺實驗題，這些題降低了對論證的要求。教師在進行這部分內容的教學中存在著注重形式、不及本質、注重直觀、淡化理性的傾向，經常停留在就題論題的層面，缺少為什么會想到這樣的結果的解釋。雖然這類題表面是對直覺思維有要求，但不等于說是光靠直覺就能真正解決問題，它還是需要以大量的數學知識為支撐，通過一定的方法和邏輯思維來解決。直覺思維不是孤立的，它和理性思維是相互促進的。

下面我們不妨從“數數”、“折剪”“剪拼”等一些問題中談談直覺數學題中隱含的深層次的理性思維。

1 數數

這類題我們不妨從數線段開始說起。

例1 下列圖中，一共有幾條線段?

一般情況下，教師讓學生通過觀察、思考、交流，得出圖中共有15條線段的結論，但教師若只是停留在這個層次上顯然是不夠的。作為教師心中明白，這里面隱含概率中組合的思想，教師雖不能直接給出組合的公式，但必須告訴學生按一定順序去找:從第一個字母開始，逐個向后數，AB、AC、AD、AE、AF、BC、BD、BE、BF、CD、CE、CF、DE、DF、EF。通過這樣的推導，體現了的數學的分類思想，增強了學生的邏輯思維能力。學生真正掌握了這種方法，下面一題數三角形的題就迎刃而解了。

例2 下圖中共有幾個三角形?

有了上題的基礎，結合三角形的定義，用上題的方法按分類、按順序就可以不重復不遺漏地數出來了。

例3 下圖中共有幾個三角形?

這道題看似和第二題一樣，但難度上大得多，從圖像表面上看不出按什么順序去數。教師通過讓學生觀察、思考、交流，把所有的三角形寫出來。但學生心里是非常不踏實的，有沒有被遺漏的三角形了呢?到底有沒有數全呢?的確，若不加以深層次分析，學生下次遇到這類題很容易出錯，不是遺漏就是重復。教師往往認為是學生做題不仔細，而本質上是學生沒有掌握解題的方法，每次解題是碰“運氣”。為了解決這個問題，我們不妨由上面的兩個問題中得到一定啟發，按一定順序去數。只是這道題中的順序不能從圖形表面上來找。那么我們不妨對圖中的每一塊進行編號，有了序號，就有了一定的順序，再一一判斷:

先單獨看一塊:①、②、③、④，顯然①不是三角形，其它3個都是;

再看兩兩組合:(①②)、(①③)、(①④)、(②③)、(②④)、(③④)，其中2組不能形成三角形，4組能形成三角形;

再看三三組合:(①②③)、(①②④)、(①③④)、(②③④)，這里三三組合都不能形成三角形;

最后看四個組合在一起:四個在一起顯然是個大三角形。

這里三三組合中雖然沒有一種能形成三角形，但并非說可以不考慮這種情況，只有這樣，解決其它類似問題時才不至于重復或遺漏。

面對這類“數數”問題，不管有多少實例也代替不了理性的深度思考。教師不能一味責怪學生看圖不仔細、不全面。這類題目不僅僅是考查學生仔細的能力，更重要的是考察學生有沒有掌握一定的數學方法。教師在教學過程中要實施直觀表象與理性思維相結合的教學策略。

2 折剪

折剪問題在數學新課程改革后經常出現的頻率比以前高了很多。比如在《軸對稱》一節中有這樣一題:

例4 把一個正方形紙片按下方要求對折，沿虛線剪下，而后展開，所得的圖形大致是______。

從下往上折從左往右折沿虛線剪下

面對這類題，大部分老師讓學生先觀察，再猜想答案，最后動手實驗。利用手中的剪刀和正方形紙片，按照題目中的要求折疊、裁剪、展開，學生基本上能得到正確的答案。若有個別同學出錯，老師還可以正好利用這個反例，讓其他同學思考這個學生為什么錯，最后得到結論:一定要按要求折疊，“從下往上折”和“從上往下折”展開所得的圖形是完全不同的，并再次提醒學生要看清楚題目要求。最后教師再對這道題進行變式訓練，算是完滿結束了。反過來想，若教學停留在這個層次，這種折剪要求或許對幼兒園的小朋友來說都是能完成的。這道題的最終目的是培養學生的逆向思維和空間想象能力，當然這里的逆向思維是利用軸對稱知識的。教師讓學生動手實驗，絕對不是最終目的。動手的這個過程是為動腦提供最直接、最可靠的依據。在動手動腦的過程中，領悟解決這道題的思想方法，增加學生的空間想象能力。

例4通過動手實驗后，進一步思考，每一次對折就是產生一條對稱軸，我們逆向畫出對稱軸，畫出軸對稱圖形，得到完整的圖形。

這樣一方面鍛煉了學生畫軸對稱圖形的能力，同時也鍛煉了學生的空間想象能力。折剪后，到底哪一塊是不變的?展開時的順序又是怎樣?與原來折時的順序有什么聯系?有了這些深層次的思考，學生對再復雜折紙問題就會有一定的思考方法。

類似的折剪問題在新教材中經常出現，教師絕對不能停留在淺層次上，做表面文章。只有通過一定的深度思考，引導學生挖掘真正的數學知識、數學方法，才能讓學生經歷從具體到表象再到抽象這個過程。

3 剪拼

例5 某加工車間現有一塊梯形鋼板廢料，為了響應廠里提出的節省開支的計劃，打算把它切割后焊接成一個三角形，使面積保持不變，請你設計一個設計方案。

這種問題表面只是要求學生剪剪拼拼。學生通過多次動手實驗后能完成這個任務。問其怎么會做出來的，似乎直覺的成分偏多。教師若以得出最后答案為最終目的，此題就沒什么價值。

這類剪拼題，教師要有意識的將學生的注意力集中到說理上來。教師引導學生關注兩個問題:(1)如何想到這種合適的剪拼方法?(2)如何說明自己的剪拼的合理性?

本質上，要完成這個貌似簡單的問題，學生首先要考慮到所要拼成的圖形三角形的“模樣”，再思考梯形與三角形之間的聯系。有些學生好像沒經過什么思考就做出來了，其實，他們腦子里已經把這些知識融會貫通在一起了。梯形問題轉換成三角形來解決是常用的方法，學生前面或許已經積累了一些梯形轉換成三角形的方法，再結合經過梯形一腰中點做輔助線是解決梯形的常規輔助線這個知識點，這道題就不難想出來了。教師下一步要引導學生說明自己剪拼的合理性。這道題當然是比較簡單的，利用三角形的全等就能說明。但若看下一題:

例6 如圖，⊿ABC中，AD為BC邊上的中線，⊿ABD與⊿ACD等底同高，從而這兩個三角形的面積相等，現在請你設計一種方案，把三角形⊿ACD分成若干小塊，而這若干小塊下好能拼成⊿ABD，說明理由。

這題的本質也是剪拼。在教學過程中，我發現一部分學生畫出了分割方案，但說不出理由。這足以說明他們的分割方案是憑直覺的，為什么這樣分，他心里也不清楚，所以教師對說理這個環節要重視。此題，本質上也是證三角形的全等，只是兩組三角形的方向不同，學生想不到而已。

剪拼這類問題，教師始終要抓住三個環節開展活動:(1)怎樣“剪”?(2)為什么想到這樣剪?(3)為什么合理?而若教師注重了后面兩個環節，能引領學生的理解趨向深層次化，讓學生深刻領悟到數學基礎知識在解決解決這類問題時起的“支撐”作用，最終達成深化學生對基礎知識的掌握，提高學生對基礎知識的運用能力。

4 小結

“直覺思維是指不經過一步步地分析，而迅速地對問題答案作出合理猜測、突然領悟、理解的思維。直覺思維是一種特殊的創造思維。直覺思維不同于一般思維活動之處，在于它濃縮了對思維對象(已知、結論、關系)的信息加工處理過程，簡縮了數學推理演算過程，其中包括的理性思維是跳躍性的甚至是模糊的，它既依賴于過去的經驗和理性認識，又參與了很大的創造想象活動。”這段對直覺思維的解釋，讓我們更清楚地認識到:直覺實驗題，表面上是學生利用直覺思維解決問題，實際上需要大量的數學基礎知識為其支撐。教師在引導學生解決這類直覺實驗題時，絕不能僅僅依靠所謂的“靈感”，更要注重以前的知識、經驗和理性思維的運用。

參考文獻

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