“乘法分配律”教學片段及評析

《數學課程標準（實驗稿）》指出：“義務教育階段的數學課程其基本出發點是促進學生全面、持續、和諧地發展，它不僅要考慮數學自身的特點，更應遵循學生學習數學的心理規律，強調從學生已有的生活經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程，進而使學生獲得對數學理解的同時，在思維能力、情感態度與價值觀等多方面得到進步和發展。”課改實踐證明，引導學生結合現實的問題情境構建數學模型，并進行解釋和應用，能很好地促進學生自主學習，提升學生的數學思考，提高教學效果。一位教師在教學“乘法分配律”時，引導學生從現實的、結構化的問題情境中發現不同算法間的聯系，讓學生舉出類似的等式，并對這些等式進行分析和比較，主動探究數學規律、發現數學模型，使學生在獲得對數學知識理解、技能掌握的同時，在思維能力、情感態度等方面得到進步和發展。下面是其教學片段的實錄及評析。

片段一：讓知識在順向中誘導模型

教師出示下面的算式：

（1）8×43+57×8 （2）102×43

（3）265×99+265 （4）64×201-64

并提問：讀完這些算式，同學們能立即說出答案嗎？

學生注意力一下子集中了起來，個個躍躍欲試。就在學生“心求通而未得，口欲言而未能”之時，教師指出，本節課就來學習以上各算式的簡便計算規律。接著出示下面的兩組算式要求學生口算，并根據每組題中兩個算式的得數想一想這兩個算式有什么聯系。

（1）①（2+3）×4②2×4+3×4

（2）①8×（7+3）②8×7+8×3

學生口算后回答：每組里的兩個算式的得數都相等，得數相等的兩個算式應相等。

教師肯定學生的回答后，隨即分別把每組的兩個算式用等號連接起來，把學生觀察的焦點由計算結果引向算式的關系上，獲得乘法分配律具體表達方式的初步印象。

教師進一步引導學生仔細觀察每一組中的算式①，要求學生用數學語言表述出來，并說說它們表示什么意思。

生：這兩個算式表示的是兩個數的和乘一個數。

師：那么每組中的算式②呢？

生：表示兩個積的和。

師：請同學們想一想，這兩組算式說明了什么。

生：兩個數的和乘一個數的得數與兩個數分別乘這個數再把積加起來的得數是相同的。

［評析：數學模型的建構是對問題情境中某種內在的數學關系、規律的概括、提煉與總結，它依賴于一定的現實情境，可以說，情境是模型生成、發生、發展的誘因。課伊始，教師創設了良好的數學問題情境，以激發學生的學習興趣和求知欲望，注重引導學生在自主解決問題的過程中體會同一情境所得出的不同算式之間的內在聯系，初步形成有關的數學模型，為隨后數學模型的抽象和概括打下了基礎，實現了新舊知識的正遷移，體現數學教學必須建立在學生已有的認知水平上，使數學學習具有現實性和挑戰性。］

片段二：讓規律在探究中構建模型

接著，課件出示教材第33頁“植樹”主題情境圖，要求學生帶著例3中的問題：“一共有多少名同學參加了這次植樹活動”去看主題情境圖。

在學生觀察主題情境圖，積極思考的基礎上，教師組織學生討論、交流、匯報。

生：（看著“植樹”主題情境圖）一共有25個小組，每組里4人負責挖坑、種樹，2人負責抬水、澆樹。要求一共有多少名同學參加植樹活動，可以用每組的人數乘組數，即：（4+2）×25=150（人）。

生：從圖上知道每組人數是4+2=6（人），有25個小組。要求一共有多少名同學參加了這次植樹活動，可以用每組人數乘組數來計算。

師：說得真不錯！還有別的方法嗎？

生：先分別算出挖坑、種樹的人數與抬水、澆樹的人數，算式是4×25=100（人），2×25=50（人），再求一共有多少名同學參加這次植樹活動。算式是：100+50=150（人）。還可以用綜合算式表示為：4×25+2×25=150（人）。

生：我是這樣想的，先算出挖坑、種樹和抬水、澆樹各有多少人，再把兩個積相加，算式是4×25+2×25=150（人）。

師：通過計算，同學們發現了什么？

生：兩種解法雖然算式不同，但計算的結果相同，可以用等號連接這兩個算式，即：（4+2）×25=4×25+2×25

師：這兩個算式的意義有什么不同？

生：（4+2）×25是把4與2的和同25相乘；4×25+2×25是先用4與2分別乘25，再把兩個積相加，結果不變。

教師進一步要求學生各自舉例闡述，在學生獨立思考、相互討論交流的基礎上，引導學生用數學語言、符號語言表述上述規律。

師：如果用甲數、乙數、丙數分別表示三個數的話，你能用一個等式表示出左右兩邊算式之間的關系嗎？

生：（甲數+乙數）×丙數=甲數×丙數+乙數×丙數。

師：還可以用別的符號表示嗎？

生：如果用△、○、□分別表示三個數的話，還可以用等式（△+○）×□=△×□+○×□來表示。

生：我還發現如果用字母a、b、c分別表示三個數的話，那么可以用等式（a+b）×c=a×c+b×c來表示。

在教師啟發學生用數學語言、符號、字母歸納概括出兩個算式的等量關系后，進一步點明：這就是這節課我們所學習的“乘法分配律”。（板書課題并請學生看課本第36頁上是怎樣表述乘法分配律的。最后，引導學生深入理解：等號右邊等式里的不相同因數，就是等號左邊算式里的兩個加數；右邊算式里相同因數，則是左邊算式里的一個乘數，把學生的思維引向認知新天地。

［評析：集中呈現大量具有某種相似結構的素材，是數學模型得以成功抽象、概括和提煉的關鍵。教師注重強化體驗，誘導思維，讓學生始終參與探究新知的過程。同時引導學生進行數學思維，拋開具體等式中的非本質特征，概括出它們共同具有的本質特征，并讓學生自己發現，嘗試用自己喜歡的方式表示出來。教師及時引導學生從符號表示過渡到用字母表示，體會到用字母表示數學模型的簡潔性和形象性，從一組等式過渡到一個符號、文字或字母表示的等式，生動地體現了學生對于乘法分配律這一數學模型的抽象、概括，培養了學生的思維能力。］

片段三：讓新知在應用中深化模型

師：同學們真聰明！發現并探究了乘法分配律。現在請應用所掌握的知識獨立思考解決下面的問題。

師：（出示“（180+560）×23”）按原來的運算順序，應先算什么，后算什么？根據乘法分配律，還可以怎樣算？

學生做題后，教師引導討論。

師：（出示“9×47+53×9=9×（47+53）”）請同學們觀察、分析，從中發現了什么？

生：這道題中47和53都與9相乘，根據乘法分配律，可以先把47和53加起來，再將它們的和與9相乘，計算結果不變。

生：這道題中有一個因數9相同，另外兩個不相同因數47和53的和恰好湊成整百數，就可以根據乘法分配律，用這個相同因數與其他兩個因數的和相乘使計算變得簡便。

師：現在我們再來看一看課開始時要求回答的四個算式，想一想是兩個數的和與一個數相乘簡便呢，還是先分別相乘，然后再求和簡便？

生：我認為（1）（3）題是兩積求和的算式，有一個因數是相同的，另外兩個不相同的因數的和恰好湊整，根據乘法分配律，用這個相同因數與另外兩個因數的和相乘。可以用口算，即：

（1）8×43+57×8=（43+57）×8=100×8=800

（3）265×99+265=（99+1）×265=100×265=26500

生：第（2）題我是這樣想的，因為102最接近100，所以把102分解成（100+2），再用43分別去乘100和2，可以口算，即：102×43=43×（100+2）=43×100+43×2=4300+86=4386

師：現在請各小組交流，第（4）題在計算時與前面的幾道題有什么相同的地方和不同的地方？

生：我認為，第（4）題是兩積求差的算式，在這個算式中，有一個因數64是相同的，另外兩個不同因數的差恰好湊整，根據乘法分配律，用這個相同因數與兩個因數的差相乘，可以口算，即：

64×201-64=64×（201-1）=64×200=12800

［評析：一個好的數學模型，往往因其抽象、概括的特點，對于具體的數學問題反而具有很強的解釋性和適用性，能有效解決現實生活及數學內部各種各樣的問題。教師善于為學生創設豐富多彩的探究機會，引導學生在多樣化的解決問題的過程中，逐步深化對數學模型的理解，提升學生的數學思考。在練習中，注重知識的遷移，使學生的認知結構更加靈活、深刻、系統，從而加深了對乘法分配律的理解，真正體現了“運用數學模型自主解決實際問題”的特點，發展了學生的數學思考，落實了教學目標。］

作者單位

祥云縣城區四小

◇責任編輯：曹文◇