一道可用逆向思維解的中考壓軸題

2006年臺州市中考數學壓軸題，從“平行于三角一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似”出發，用類比的方式提出與相似梯形有關的兩個問題，讓學生經歷了觀察、實驗、猜想、證明等數學活動過程，體會了從特殊入手，利用猜想推廣到一般，再給予證明的研究數學的方法。而在解決問題的過程中，也可體現逆向思維的妙用。請看：2006年臺州市（非課改區）初中畢業升學統一考試的壓軸題（本題14分）：

善于學習的小敏查資料知道：對應角相等，對應邊成比例的兩個梯形，叫做相似梯形。他聯想到“平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似”，提出如下兩個問題，你能幫助解決嗎？

問題一：平行于梯形底邊的直線截兩腰所得的小梯形和原梯形是否相似？（1）從特殊情形入手探究。假設梯形ABCD中，AD∥BC，AB=6，BC=8，CD=4，AD=2，MN是中位線（如圖1）。根據相似梯形的定義，請你說明梯形AMND與梯形ABCD是否相似？（2）一般結論：平行于梯形底邊的直線截兩腰所得的小梯形與原梯形（填“相似”或 “不相似”或“相似性無法確定”，不要求證明）。

問題二：平行于梯形底邊的直線截兩腰所得的兩個小梯形是否相似？（1）從特殊平行線入手探究。梯形的中位線截兩腰所得的兩個小梯形______ （填“相似”或 “不相似”或“相似性無法確定”。不要求證明）。（2）從特殊梯形入手探究。同上假設，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=6，BC=8，CD=4，AD=2，你能找到與梯形底邊平行的直線PQ（點P，Q在梯形的兩腰上，如圖2），使得梯形APQD與梯形PBCD相似嗎？請根據相似梯形的定義說明理由。（3）一般結論：對任意梯形（如圖3），一定______（填“存在”或“不存在”）平行于梯形底邊的直線PQ，使截得的兩個小梯形相似。若存在，則確定這條平行線位置的條件是= ______（不妨設AD=a，BC=b，AB=c，CD=d，不要求證明）。

解：問題一 （1）∵=1 =，∴≠，∴梯形AMND與梯形ABCD不可能相似。（2）不相似。（1）的特殊推廣到一般：=1 =，(k>0，k≠0則≠，且≠。）

問題二：（1）不相似。（≠＝1）。（2）能找到這樣的平行線PQ。要使梯形APQD與梯形PBCD相似，必有＝∴PQ=＝４。過點A作AE∥DC分別交BC，PQ于點E，F（如圖4）。則PF=4-2=2。在△ABE中，PF∥BE，則＝。∴AP=＝=2，此時=，=，＝＝，∴=＝＝。又梯形APQD與梯形PBCQ的對應角顯然相等，∴梯形APQD與梯形PBCQ相似。（3）存在。對（2）一般化，再進行類似的證明即可，且＝。

若靈活運用逆向思維，本題的一些結論就很容易得到。現在從下往上推：從問題二（3）“若存在，則確定這條平行線位置的條件是 =______ ”所提供的信息要求填寫 =______可以知道，“這條平行線”是一定“存在”的。從問題二（2）要“找到與梯形底邊平行的直線PQ”說明（1）中沒有找到，即“不相似”。另外，在問題二（2）的解題過程中，也顯示了逆向思維的作用。 (臨海市外國語學校）