淺析高中數學解題中學生思維能力的培養

摘要作為一門邏輯學科，思維能力的養成是學生進行數學學習的必要途徑。要培養學生的數學學習能力，就應當在教學中，尤其是在數學試題的分析解答中，通過對學生思維能力的培養，使得他們解題游刃有余。文章從數學解題中的三個方面進行了可行性分析，以培養學生具有良好的數學思維能力。

關鍵詞高中學生 數學思維 思維能力

中圖分類號:G633.6文獻標識碼:A

1 數學思維及數學思維的過程

數學思維能力就是抽象概括能力，推理能力，選擇判斷能力和數學探索能力等多種能力的綜合，它是數學能力的核心。高中數學教學本質上是思維能力的教學，即學生在教師指導下，學習數學思維，發展數學思維和智力。思維能力的過程直接決定著學生能否順利地解答數學問題，也正因為如此，學生由于其思維過程或方法在具體問題的解決時存在著差異，而導致不同的人采取不同的方法進行解答，或者根本就不能解答。總結起來，數學的思維過程由以下幾個環節組成:(1)弄清題意，即搞清楚題目背景，已知參數，未知參數，滿足條件，條件是否多于或不足等。(2)擬訂計劃，即思索是否有相近的問題，是否有哪些公式，定理或數學模型能用上。如果有，應該怎樣利用這些公式，能否有其他的解決辦法等。(3)實施計劃，即實現求解計劃，檢驗每一步驟，并保證每一個步驟是正確的。(4)總結回顧。對整個思維過程，解題過程進行回顧性總結，舉一反三，看能否用其他方法解決，思維過程中是否走了捷徑等。

2 高中數學教學中學生思維能力的培養

2.1舉一反三，培養學生思維的深刻性

以函數為例，函數是高中數學中最為重要的內容，而且很多函數之間有很強關聯性，如函數的奇偶性、對稱性、單調性、周期性貫穿于所有的函數中。在教學時，就必須舉一反三，不能讓學生有死記硬背的習慣，如在蘇教版(必修一)第二章(函數概念與基本初等函數)中，常會碰見基于以下定義的推論題:

定義在R上的函數f(x)是周期為4的函數，且對一切x∈R都有f(2+x)=f(2-x)，則f(x)是偶函數，僅僅記住這個推論就太可惜了，因為它代表了一類問題，或者一類思維方式。實際教學中，可以將問題發散為:

(1)定義在R上的函數f(x)是周期為4的函數且為偶函數，則f(2+x)=f(2-x)對一切x∈R都成立。

(2)定義在R上的函數f(x)為偶函數，且對一切x任R都有f(2+x)=f(2-x)，則f(x)是周期為4的周期函數。

發散還不夠，還可以繼續將這個問題進行深刻化:若定義在R上的函數的圖像有兩條不同的垂直于x軸的對稱軸，那么f(x)是否為周期函數?周期是多少?通過這一發散和深刻的研究，就可以得到以下一般性質:

(1)y=f(x)(x∈R)不是常數函數，且f(x)的圖像關于直線x=a和x=b(a

(2)y=f(x)(x∈R)不是常數函數，且f(x)的圖像關于點(a，0)對稱，又關于直線x=b(a

(3)y=f(x)(x∈R)不是常數函數，且f(x)的圖像關于點(a，0)和(b，0)(a

顯然，將問題深刻化之后，就由例題變成了推論，更關鍵的是，學生體會了這個推理的過程，并在這個過程中認識到了函數變化的規律性與有趣性。

2.2追求知識融合，培養學生思維的靈活性

數學思維能力是數學知識在更高層次上的抽象和概括，是數學知識的核心。單純的知識教學只能是學生知識的積累，而思想和方法的教學則潛移默化于能力的提高過程中。思維能力一旦得到很好的培養，學生在解決數學問題時就會從不同的角度考慮問題，自然也會有多種方法。如在函數中，思維方法就有函數與方程思想，等價轉化思想，分類討論思想，數形結合的思想。在具體的解題方法上有配方法，換元法，待定系數法，比較法等。學生數學思維的靈活性的重要體現就是能熟練運用函數、數列、平面幾何、立體幾何、三角函數、統計、向量、不等式等多種方式進行解題。如在蘇教版(必修二)第二章(平面解析幾何初步)中，對待這樣一個例題:

已知a，b，c是ABC的三邊，S是ABC的面積。

求證: ≥4S。

這是典型的平面幾何和不等式知識的結合，如果思維靈活性不夠，則可能束手無策，但是如果聯想到三角形與三角函數的關系，就會想到用三角函數法，想到代入方法，可以用代數法，甚至可以用解析幾何法等。但是事實證明，結合函數與代入的方法最為簡單，解法如下(參見圖1):

設CD是ABC底邊AB上的高，CD =h， AD =m，DB =n，

則，，S=

根據題設，只要判斷4S是否≥0即可。

用函數的觀點處理是一種比較好的方式。將4S變形

得到4S=4S

=

=2[] 此時，將h換成x，將該等式的值定義為y，有

y=f(x)=2[]，顯然y是x的二次函數，原題轉化為求該函數的值總是大于0。運用該函數的=[]=. 該函數的一次項系數為1，表明該方程的值總是≥0，即≥4S。

在培養學生思維靈活性的過程中，應鼓勵學生用多種方法進行解題，這樣可以使得多種知識結構了然于胸，解題游刃有余。

3 運用回憶性思維方法，提高學生的反思能力

當前高中數學作業以做習題為主，教師批改的主要目的是督促檢查和了解學生對知識的掌握情況，判明對錯，給一個成績后下發。學生所學的數學知識都是文字、數字、字母、符號，從內涵到形式都比較抽象。運用這些抽象的東西進行數學思維，對于智力仍在發育中的高中生而言，如果沒有長期的回憶性思維，各種思維方法容易忘記。如何讓一定的思維方法在學生頭腦中扎根，就必須借助回憶性思維方法，即對知識結構，思維過程，方法進行階段式的回憶，總結。回憶的過程多種多樣，如讓學生看著教材目錄，對目錄中的各個知識點進行會議，并標出知識點與知識點之間的聯系，經過一段時間的鍛煉之后，可以鼓勵學生嘗試用圖表、箭頭、口訣、形象比喻等技巧編織知識網，對知識進行再加工，提高了概括能力和抽象思維能力。這種方法的最大好處就在于避免學生形成思維定勢，強化了對一題多解，一題多變的認識，有利于發散思維的形成。

注釋

趙建華.高中學生數學思維障礙與突破[J].廣西教育，2006(9):16.

陳明書.高中數學教學案例研究[J].數學教學與研究，2008(16):76～78.

傅海倫.數學新課程理念與實施[M].山東:山東教育出版社，2004.