導數在不等式恒成立中的應用

摘要導數是新課標必修內容之一，導數在函數的性質的應用中以及函數的實際應用中都能起到無可替代的作用。而不等式恒成立問題是數學許多知識點的交匯處，是函數、方程、不等式與數列等一系列知識點的進一步強化。近幾年各地的高考試題，在解答題中都涉及到不等式恒成立問題，而這類問題利用導數工具來解顯示出它的簡便性與靈活性。本文就不等式恒成立問題，結合江蘇的2008年的高考題談談導數的理論應用。

關鍵詞導數的應用 不等式 恒成立

中圖分類號:G633.6文獻標識碼:A

導數是新課標必修內容之一，導數在函數的性質的應用中以及函數的實際應用中都能起到無可替代的作用。而不等式恒成立問題是數學許多知識點的交匯處，是函數、方程、不等式與數列等一系列知識點的進一步強化。在函數與不等式的綜合題中，當函數取最大(或最小)值時不等式都成立，從而得出該不等式恒成立，因此不等式的恒成立問題可轉化為求函數的最值問題。近幾年在各地的高考試題中，在解答題中都涉及到不等式恒成立問題，而這類問題利用導數工具來解顯示出它的簡便性與靈活性。因此，利用導數求函數最值是解決不等式恒成立問題的一種重要方法。下面就不等式恒成立問題，結合江蘇的2008年的高考題談談導數的理論應用。

1 利用不等式恒成立問題求不等式中含參數的范圍

不等式中參數問題較為復雜，往往求參數在一定條件下的取值范圍在不等式問題(或函數問題)中常常采用的是分類討論思想。這種方法對學生來講不是太樂意接受的，基于這種情形，我們不妨用導數理論來解決。請看下例:

例1 對于總有≥0 成立，則= 。2008年普通高等學校招生全國統一考試(江蘇卷)(填空題)

分析與解答:本小題考查函數單調性的綜合運用。若x=0，則不論取何值，≥0顯然成立;當x>0 即時，≥0可化為，

設，則， 所以在區間上單調遞增，在區間[]上單調遞減，

因此，從而≥4;

當x<0 即時，≥0可化為，

。在區間上單調遞增，

因此，從而≤4，綜上=4。

利用導數來解題避免了復雜的分類討論思想，從求值比較中就能得到重要的結論。這就是數學中的歸納方法。

例2 設函數(x>0且x≠1)。

(1)求函數的單調區間;

(2)已知對任意成立，求實數的取值范圍。

解:(1).若，則。

列表如下:

所以的單調增區間為，單調減區間為和。

(2)在兩邊取對數，得1n2>1n。

由于，所以

。 ①

由(1)的結果知，

當時，。

為使①式對所有成立，當且僅當，

即。

利用導數來研究函數的單調性，從而在某個區間中利用極值來求式中的參數問題，從而得出參數的變化范圍，達到問題的解決。

2 利用函數的最值證明不等式恒成立問題

不等式的恒成立問題，就是函數在給定的定義域上的有界性問題，揭示了函數的最大值(即上限)與函數的最小值(即下限)問題。

例3 已知且。證明不等式:

。

分析:如果我們設定一函數討論函數的最小值問題就是不等式左邊的結論，最大值又是不等式右邊的結論，那么本命題即可得證。

證明:設函數，，取導數得，令即，得，因此，函數在處有極值，根據冪函數的單調性知，當時，函數為減函數，時，，函數為增函數，所以，函數在處是函數的極小值也是函數在定義域內的最小值，因此它的最小值為，所以，，左邊得證。而此時，所以當時函數有最大值為1，即，右邊也成立。

從上例中可以看出，導數的作用是利用函數的單調性求函數的極值、最值。并根據不等式的特征從而可以證明或求出某種關系。

總之，在解決一些不等式問題時，如果能夠根據不等式的特點，運用導數來證明或判斷特定函數的單調性，然后用函數單調性去解決不等式的一些相關問題，使得問題得以解決。這種解題方法就是轉化與化歸思想。它是中學數學中重要的數學思想之一。