關于復變函數中對數函數性質的一個標注

摘要本文對復變函數中對數函數的性質作一個新的注釋。

關鍵詞解析函數 對數函數 幅角

中圖分類號:O174文獻標識碼:A

對數函數作為復變函數的主要研究對象解析函數的一種初等函數，在解析函數中占有非常重要的地位，對于對數函數的研究應準確。本文對對數函數的基本性質作一些標注。

1 對數函數的定義及計算

定義 稱滿足方程的函數為對數函數，記作:.

計算公式 .

稱 為對數函數的主值，則，一旦值取定，則稱為對數函數的一個分支。

例1 計算.

解:由對數函數的計算公式得:

例2 計算.

解:由對數函數的計算公式得:

例3 計算.

解:由對數函數的計算公式得:

注:復變函數中對數函數與實函數中對數函數的區別。在實函數中負數不存在對數，在復變函數中卻存在;在實函數中正數的對數只有唯一的值，在復變函數中卻有無窮多值。

2 對數函數的基本性質及注釋

2.1對數函數的解析性

由于對數函數是多值函數，所以在整個復平面內處處不解析。但對數函數的各個分支在除原點和負實軸以外的復平面內處處解析，且具有相同的導數:.

2.2對數函數的基本性質

即1n[arg]=1narg1narg

(其中). (1)

() (2)

標注1 等式的理解與復數乘積的幅角等式的理解一樣，應理解為兩端可能取的函數值的全體是相同的。即在等式左邊取出一個數值(相當于取定一個值)，等式右邊也可以相應的分別找出與的值，使得右邊的和數等于左邊的值;反之，也對。

例如 =即1n1n1n

亦即(3)

這里，

代入(3)式得.

要使上式成立，必須且只需，只要與各取一確定的值，總可以選取的值使，反之一樣。若取，則取;若取，則可取或。

標注2 在(1)式中應要求.因為等式Lnnlnz不再成立。

例如取。

Lni=Ln(-1)=1n1+i

而2Lni=21n1+2ii，它們兩個是不相等的。

參考文獻

[1] 鐘玉泉.復變函數論[M].北京:高教出版社，1988.

[2] 西安交通大學高等數學教研室.工程數學—復變函數[M].北京:高教出版社，1996.