數學教學中逆向思維能力的培養

摘要逆向思維是發散思維的一種重要形式，它是從習慣性思維的反方向進行思考和分析問題，表現為逆用定義、定理、公式、法則等，反向進行證明，從反方向形成結論。逆向思維是擺脫思維定勢，突破舊有思維框架，發現新知識的重要思維方式。

關鍵詞逆向思維 思維定勢 逆向運用 反證法

中圖分類號:G633.6文獻標識碼:A

1 利用逆向思維探索命題的證法

在數學教學中，存在某些數學問題的證明，若正向思維去探求它的證明，很難找到證明思路。如果采用逆向思維的方式，以結論作為思考問題的出發點，利用已知條件進行合理的推理，導出矛盾的事實，由此推出結論成立，這樣往往可以使問題簡化。也就是通常所謂的反證法。

例如:若方程，，中至少有一個方程有實數根，求m的取值范圍。

分析:三個方程中至少有一個方程有實數根的可能性有七種。顯然過程非常麻煩，并且稍不留心，就會有遺漏。此時，如果運用逆向思維，“至少有一個方程有實數根”的反面是“三個方程都無實數根”，問題會大大簡化。

解:若三個方程都無實數根，則由判別式定理得

解得

故當時，三個方程都無實數根，則當或時，三個方程中至少有一個有實數根。

在數學教學中，像這樣的問題會經常遇到，從正面考慮很難甚至無法解決時，從反面入手，往往可以把問題解決掉。

2 慎重處理定理、定義的逆向運用

逆向思維是正向思維的補充，在數學教材中，通常總是采用定義來闡述某個數學概念。數學概念的靈活運用，是應用數學知識和方法分析解決問題的基礎，特別是定義的逆向運用更培養學生能力。在思維和解題訓練中，必須把定義放在重要的位置。

例如: 已知實數x ，y，z滿足，證明x=y

分析:兩個方程三個未知數，直接證明顯然有麻煩，甚至得不到答案。而由已知條件不難發現和，我們會想到韋達定理和一元二次方程根的情況。

解:由已知得和根據韋達定理的逆定理，x，y是一元二次方程的兩實根。，又，所以。即，從而，即=0，所以方程有兩個相等的實根，則x=y。

3 加強公式、法則的逆向運用

數學公式的雙向性學生很容易理解，但很多學生只習慣從左到右運用公式、法則，而對于逆向運用卻不習慣。因此在教學中，應加強公式法則的逆向運用，使學生明白只有靈活地運用，做題才能得心應手。

例如:求的展開式中各項的所有有理項系數的和

分析:我們會想到把這個二項式展開，然后把所有的有理項系數相加，得到答案，但無疑是麻煩的。若從反面考慮，不展開二項式，給字母賦值，令x=y=1代入求得二項式展開式各項系數和，再從中提取有理數部分，就可求得所有有理項系數的和。

解:在原式中令x=y=1，得到原式展開式中各項系數和為=是一個無理數。故展開式中各項的所有有理項系數和為零。

4 利用逆向思維探索問題的結論

雖然思維定勢在基礎知識的獲得，基本問題的解決和基本技能的培養方面有著非常重要的作用，但也容易在解題中形成機械模仿，被動記憶，表現出思維的懶惰性、呆板性、依賴性。因此在平時教師應當有意識地選擇一些常規方法不宜解決或解法很繁雜，但用某些特殊方法容易解決的例題，幫助學生克服思維定勢，培養學生思維的靈活性。

例如:將函數sin的圖像作如下變換:先向右平移個單位;再把所有點的橫坐標變為原來的倍，縱坐標不變;最后把所有點的縱坐標變為原來的，橫坐標不變。結果得到函數的圖像，求sin的表達式。

分析:這個問題如果正向推導，其解答過程比較復雜。我們采用逆向思維的方式，從結論出發，逆向推導待定表達式，可以得到一種簡捷的解法。

解:先把把所有點的縱坐標變為原來的4倍，橫坐標不變。得到;再把再把所有點的橫坐標變為原來的2倍，縱坐標不變，得到;最后把圖像上所有點向左平移個單位，得到即為所求。

以上就是逆向思維的幾個方面。數學知識是數學思維活動的結果。因此，數學教學的任務，不僅要使學生掌握教學大綱所規定的數學知識和數學能力，而且要使學生發展數學思維能力。加強思維能力的訓練，有助于理解知識、培養能力和發展智力。