直線斜率的五大妙用

當(dāng)直線傾斜角不為90°時，它的正切值叫做直線的斜率，斜率在求直線方程、直線的傾斜角、多點共線等方面問題時有著十分重要的作用，下面介紹斜率的其他五大妙用.

1.利用斜率求函數(shù)值域

例1.求函數(shù) 的最大值與最小值.

分析:認(rèn)真觀察 的結(jié)構(gòu)特征，與斜率公式非常相似，故可用斜率來解決問題，走數(shù)形結(jié)合之路.

解: 設(shè) ，則求 的最值，就是求 的范圍.因為點A的軌跡是單位圓，如圖1所示.設(shè) 方程為 ，由點到直線距離公式得 = ，解得 或 .所以 的最大值為 ，最小值為0.

評注:此題解法很多，同學(xué)們還可利用三角函數(shù)的有界性、換元法等方法求解.

2.利用斜率求變量范圍

例2.已知 滿足方程 ，求 范圍.

分析:方程 所表示的圖形是以（2，0）為圓心，半徑為 的圓，求 的范圍，可變?yōu)榍?的范圍，而 表示點 與 連線的斜率.

解:因為點 是圓 上任一點，所以求 的范圍，就是求(0，0)與點A 連線的斜率的范圍.如圖2所示，當(dāng)OA與圓C相切時，取最大值 ，同理可求得 取最小大值- ，即 的取值范圍是 .

評注: (1)將問題轉(zhuǎn)化為圓 上任一點與原點連線的斜率問題是解決本題的關(guān)鍵，特別是z的幾何意義，其中 的幾何意義是點(x，y)與點(a，b) 連線的斜率.

(2)本題也可用 與圓方程聯(lián)立成方程組，轉(zhuǎn)化為二次方程問題.

3.利用斜率證明不等式

例3. 已知正數(shù) 滿足 ，求證: .

分析:觀察所證不等式左邊 ，其結(jié)構(gòu)特征與 十分相似，故此式可看作點( )與點( )連線的斜率.

解:如圖3所示，由 ，知( )在第一象限且在直線 的下方，又因為 ，所以( )在第三象限且在直線 上，連接OP，MP.

則……