兩道市一模試題的評析與思考

1背景介紹

根據2009年普通高等學校招生全國統一考試數學科（江蘇卷）考試說明，平面解析幾何重點考察直線、圓的方程（均升為C級），而淡化橢圓（降為B級）、雙曲線、拋物線（均降為A級）的考察，解答過程一般不涉及韋達定理．為此，平面解析幾何大題如何考察成為新高考的熱點話題之一，本文就2009屆南京市與南通市高三第一次模擬考試（數學卷）中的兩道解析幾何大題展開探討，以供大家復習參考．

2試題評析

（09南京一模）如圖1，在平面直角坐標系 中，已知拋物線 上的橫坐標為４的點到該拋物線的焦點的距離為5．

（1）求拋物線的標準方程；

（2）設點 是拋物線上的動點，若以 為圓心的圓在 軸上截得的弦 長為4，求證：圓 過定點．

（09南通一模）如圖2，橢圓 (a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2，M、N是橢圓右準線上的兩個動點，且 .

（1）試判斷原點O與以MN為直徑的圓的位置關系；

（2）設橢圓的離心率為 ，MN的最小值為 ，求橢圓方程.

下面以表格形式比較兩道試題的異同：

3解法探討

⑴南京卷

本題解法較單一，第（2）問中，設圓心 ，可求得圓 的方程： ，關鍵是如何求證圓 過定點？

法1（特殊值法）

如取 、 可得圓 的方程分別為 、 ，聯立方程組求得 或 ，經檢驗，圓 過定點 ．

法2 （一般方法）

將圓 的方程整理為 ，故 ，且 ，解得 ，所以圓 過定點 ．

⑵南通卷

本題解法較豐富，第（1）問中，除了求出圓的方程（過程較繁，不少考生最終選擇放棄），利用方程來判斷點與圓的位置關系外，還可以利用下面幾種方法：

法1 （向量法）

設橢圓 的焦距為2c(c>0)，則其右準線方程為x＝ ，且F1(－c， 0)，F2(c， 0).

設 則 ＝

，

因為 ，所……