激趣.猜想.驗(yàn)證.溝通.建模

在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，如何根據(jù)知識(shí)的形成和發(fā)展規(guī)律，聯(lián)系學(xué)生的認(rèn)知水平，有效突破傳統(tǒng)教學(xué)模式，創(chuàng)建以學(xué)生為主體的教學(xué)模式，使教學(xué)過程充滿情趣，教師教得輕松，學(xué)生學(xué)得愉快，是當(dāng)前課堂教學(xué)改革的主旋律。下面以人教版數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊“數(shù)學(xué)廣角”中“雞兔同籠”為例談?wù)勛约旱恼J(rèn)識(shí)。

一、情境激趣

興趣是學(xué)生學(xué)習(xí)的催化劑，是推動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要?jiǎng)?chuàng)設(shè)和諧、愉悅的課堂氣氛，遵循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的規(guī)律，通過數(shù)學(xué)的藝術(shù)性、形象性、直觀性、趣味性來調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。“雞兔同籠”是我國著名的算術(shù)著作《孫子算經(jīng)》中的內(nèi)容，此題具有典型性，因此，課開始，我從古題引入。

師:中華文化源遠(yuǎn)流長，《孫子算經(jīng)》是我國古代一部非常重要的數(shù)學(xué)名著，里面記載了很多有趣的數(shù)學(xué)名題，其中有這樣一個(gè)問題(電腦顯示):“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足。問雉兔各幾何?”

師:在這道題中，你有不明白的詞語嗎?

生:“雉”是什么意思?(電腦顯示:“雉”讀“zhì”，就是野雞。)

師:誰來說一說，這道題給出了哪些條件?提出了什么問題?

生:有一些野雞和兔關(guān)在一個(gè)籠子里，從上面看，共有35個(gè)頭，從下面看，共有94只腳。問有多少只雞，多少只兔?

師:古人對這樣的題目有著獨(dú)到的見解，我們把類似于這樣的問題統(tǒng)稱為“雞兔同籠問題”。今天，我們就來研究“雞兔同籠問題”。

〔反思〕教學(xué)是對文化的傳承與弘揚(yáng)，數(shù)學(xué)教學(xué)也不例外。用古代數(shù)學(xué)名題導(dǎo)入，不僅讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)文化的悠久與魅力，而且激發(fā)了學(xué)生探究的興趣和動(dòng)機(jī)。

二、積極猜想

猜想是依據(jù)已有的材料或知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，對研究的數(shù)學(xué)對象(或數(shù)學(xué)問題)做出符合一定規(guī)律的推測性想象。猜想是一種直覺性的比較高級(jí)的思維方式，對于探索性和發(fā)現(xiàn)性學(xué)習(xí)來說，猜想是一種重要的思維方法。波利亞說:“在數(shù)學(xué)的領(lǐng)域中，猜想是合理的、值得尊重的、是負(fù)責(zé)任的態(tài)度。”他還認(rèn)為，在有些情況下，教猜想比教證明更為重要。所以出示例1后，啟發(fā)學(xué)生積極猜想。

師:為了便于研究，我們從簡單問題入手，把題中的“35個(gè)頭”和“94只腳”分別換成“8個(gè)頭”和“26只腳”。

例1:籠子里有若干只雞兔，從上面數(shù)，有8個(gè)頭，從下面數(shù)，有26只腳，雞和兔各有幾只?

師:請同學(xué)們猜一猜，雞兔可能各有幾只?

學(xué)生猜測、匯報(bào)。

師:可能只有一種動(dòng)物嗎?為什么?

生:不可能。如果都是雞就只有16只腳，而題中的是26只腳;也不可能全是兔，因?yàn)槿绻际峭镁陀?2只腳。

〔反思〕由于學(xué)生已經(jīng)具備了一定的生活經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)儲(chǔ)備，他們會(huì)猜測出各種答案(但絕不會(huì)猜測全部是雞或全部是兔子)，這樣的猜測不僅為解決問題指明了方向，還增強(qiáng)了學(xué)生的數(shù)感，發(fā)展了推理能力。

三、科學(xué)驗(yàn)證

實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證是科學(xué)研究的重要方法。實(shí)驗(yàn)中，學(xué)生會(huì)想方設(shè)法尋找一種證明“自己是對的”操作方法。

師:你們的猜想對不對呢?你能想一個(gè)辦法來推出你的猜測是正確的嗎?請同學(xué)們小組內(nèi)討論交流。(學(xué)生討論交流，教師巡視指導(dǎo)。)

師:誰愿意展示自己的方法?

(綜合學(xué)生的解法，有以下四種方法。)

(1)列表法。

師:你們是怎樣想的?

生:從有1只雞開始，一個(gè)一個(gè)地試，把試的結(jié)果列成表格。從表中看出3只雞5只兔符合題目要求。

師:除了列表法外，還有其他方法嗎?

(2)畫圖法。先畫8個(gè)圓圈代表8個(gè)動(dòng)物的頭，再為每個(gè)動(dòng)物畫2只腳。這樣，還少了10只腳，因?yàn)槊恐煌米由倭?只腳，所以是5只兔子，3只雞。

師:畫圖的方法便于觀察，也容易理解。

(3)假設(shè)法。

師:兔有4只腳，雞只有2只腳，這豈不是不公平嗎?

生:雞還有2只翅膀呢!

師:如果翅膀也算“腳”，總共該有多少只腳呢?

生1:8×4=32(只)腳，若翅膀不算“腳”，只有26只腳，可多出32-26=6(只)翅膀，這樣，雞就有6÷2=3(只)。

生2:假如我給這群小動(dòng)物發(fā)口令:“雞不動(dòng)，兔子起立!這樣，它們都只有2只腳在地面上了，就得到16只腳(8×2=16)，那就少了10只腳，就可以知道兔子是10÷2=5(只)。

師:你怎么會(huì)想到這樣方法?能告訴大家嗎?

生:我讓兔子起立，實(shí)際上是把兔子的腳分為兩部分，一部分和雞一樣多，另一部分是比雞多出的。

(4)代數(shù)法。

師:除了以上方法外，還有其他方法嗎?

生:還可以用方程解答。

師:請同學(xué)們試一試用方程解答。

生:設(shè)有x只兔子，雞就有(8-x)。列方程:4x+2(8-x)=26 解:x=5，即兔子有5只，雞有8-5=3(只)。

〔反思〕教師組織學(xué)生多層面、多角度地探索問題。學(xué)生先用“列表法”和“畫圖法”驗(yàn)證。在驗(yàn)證過程中，不斷發(fā)現(xiàn)新的問題，提出解決策略“假設(shè)法”與“代數(shù)法”，并在解決新問題的過程中不斷完善自己的猜想，發(fā)揮創(chuàng)造才能，最終發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

四、溝通聯(lián)系

從傳統(tǒng)的解“應(yīng)用題”到新課程提出的“解決問題”，發(fā)生了根本性的變化。解決問題更加關(guān)注的是當(dāng)學(xué)生在生活中遇到實(shí)際問題時(shí)，如何運(yùn)用數(shù)學(xué)思想探求解決問題策略。解決問題的策略是多樣的，當(dāng)學(xué)生用幾種方法解決了“雞兔同籠”問題后，引導(dǎo)學(xué)生反思，溝通策略之間的聯(lián)系并優(yōu)化解法是必要的。

師:請同學(xué)們回憶一下，剛才解決雞兔同籠問題時(shí)，用了哪些方法?

生:列表法、畫圖法、假設(shè)法和代數(shù)法。

師:要你們解決《孫子算經(jīng)》中的原題，你會(huì)選擇哪種方法?為什么?

生:我選擇假設(shè)法。

生:我選擇代數(shù)法。因?yàn)楫?dāng)頭和腳的只數(shù)較多時(shí)，用列表法和畫圖法比較麻煩，而且有一定的局限性，是不容易找到答案的。

師:這些方法之間有聯(lián)系嗎?

生:有聯(lián)系。通過列表法，我們知道了可以假設(shè)雞分別有1、2、3只……兔子就對應(yīng)著7、6、5只……這是假設(shè)法的基礎(chǔ)。

生:畫圖法也是假設(shè)法的基礎(chǔ)。

生:從列表中，我們還可以看出，如果雞有1、2、3只……兔子就有8-1=7只、8-2=6(只)、8-3=5(只)……也就是說，如果雞有x只的話，兔子就有(8-x)只。

師:用你喜歡的方法解答《孫子算經(jīng)》中的原題。(學(xué)生自行回答。)

〔反思〕列表、畫圖、假設(shè)與代數(shù)法都是解決問題的策略，列表法和畫圖法直觀形象，簡便易行，但有其局限性。教學(xué)時(shí)要讓學(xué)生理解這些策略的特點(diǎn)，恰當(dāng)?shù)剡x擇運(yùn)用，在分析問題和解決問題中體驗(yàn)解決問題策略的多樣

性。

五、建構(gòu)模型

數(shù)學(xué)模型是人們以數(shù)學(xué)方式認(rèn)識(shí)具體事物、描述客觀現(xiàn)象的最基本的形式。人們以數(shù)學(xué)方式通過分析、比較、判斷、推理等思維活動(dòng)，探究具體事物的本質(zhì)及聯(lián)系，最終以符號(hào)、模型等將其規(guī)律揭示出來，使復(fù)雜的問題本質(zhì)化、簡潔化、一般化，使某類問題的解決有了共同的程序與方法。可以說，數(shù)學(xué)模型反映了數(shù)學(xué)思維的過程。建立數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)教學(xué)本質(zhì)特征的反映，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和課程改革的重要任務(wù)。因此，當(dāng)學(xué)生理解了“雞兔同籠”問題后，讓學(xué)生對生活中的一些例子開展練習(xí)活動(dòng)并進(jìn)行數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)，是教學(xué)的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。

1.出示兒歌:“一隊(duì)獵人一隊(duì)狗，兩隊(duì)并著一隊(duì)走，數(shù)頭一共49，數(shù)腳一共176，有幾個(gè)獵人幾只狗?”

師:讀這首兒歌，你知道了什么?能用解答雞兔同籠問題的方法求解嗎?

2.育紅小學(xué)“環(huán)保衛(wèi)士”小分隊(duì)12人參加植樹活動(dòng)，男同學(xué)每人栽3棵樹，女同學(xué)每人栽2棵樹，一共栽了32棵樹。男女同學(xué)各有幾人?

〔反思〕學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的過程，實(shí)際上是對一系列數(shù)學(xué)模型的理解、把握的過程。學(xué)生在探索數(shù)學(xué)模型的過程中，同時(shí)獲得了構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、解決實(shí)際問題的思想、程序與方法，二者對學(xué)生的發(fā)展來說，其意義遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于僅僅獲得某些數(shù)學(xué)知識(shí)。重視滲透模型化思想，正是順應(yīng)了這種改革的趨向和要求。讓學(xué)生聯(lián)系生活實(shí)際練習(xí)，一方面鞏固新知，另一方面從題型的結(jié)構(gòu)中理解“雞兔同籠”問題的特征，促進(jìn)了數(shù)學(xué)思想及方法的內(nèi)化。

作者單位

江蘇省溧陽市教師進(jìn)修學(xué)校培訓(xùn)處

◇責(zé)任編輯:李瑞龍◇