對小學數學課堂中延展性問題的思考

王愛軍

數學學習的難處不在于面對問題去解答和證明它，而在于如何去發現問題和提出問題。在數學學習中，問題設計顯得尤其重要，能延伸和拓展有價值的問題，就能更好解決數學問題，找到新的方法與觀點，獲得廣闊的思維空間。因此，數學問題須具有啟發性，能聯系新舊知識點，不斷激發學習者求知的欲望，促使學習者產生強烈的認知需求。

延展性問題就是指通過具體的問題和教學活動使學生在已有的知識基礎上，依據性質和程度的不同體驗變化結果。數學教學必須依據學生的不同需求而進行，讓學生適應問題的現實性、開放性，獲得多種答案或多種解法，推廣、擴充或遷移知識。數學學習過程中注重問題設計，把原問題進行延伸拓展，轉化新知識、拓寬解題思路、培養和發展創新能力，為其學習的持續發展提供保證。

1.反其道而行——反向提問法

解決數學問題一般是由因索果、循序漸進地去解決。但是，在知道結果的情況下，對命題提出反向問題也是擴大和加深知識的一種邏輯手段。在數學課堂的學習中，運用反向提問，深入引導學生探究，讓學生內化所學知識，聯想延伸，變化運用，學會分析，辨識信息，提高思考水平和處理問題的能力。它不僅可以激發學生學習數學的興趣，還可以通過探究活動、提供閱讀材料等方式引發學生進行反向思維，能培養學生創造性思維能力。

案例一：經過已知兩點A、B畫射線。

問題1：經過已知一點能畫幾條直線?

問題2：經過已知兩點A、B能畫幾條直線?

問題3：經過已知兩點A、B能畫射線嗎?能的話，能畫幾條?

通過問題3的反向提問，學生討論非常激烈，從不同角度獲得了較多的答案，如“經過兩點一條射線也不能畫，只是一條線段”“和直線一樣，經過兩點也能畫一條射線”“經過兩點可以畫兩條不同的射線”“射線不止兩條”等。在反向提問、學生探討的過程中，延伸了教學內容，拓展了學生的學習空間，糾正認知的誤區，尋求準確的結果。正如贊可夫所說：“教會學生思考，這對學生來說，是一生中最有價值的本錢”。

2.可能性結果——條件演變法

數學教學中要掘課內、外問題，進行條件演變，觸類旁通，促使學生積極思維，增強思維敏捷性、靈活性和深刻性。

案例二：游戲的公平性。

問題1：老師和學生為了一張奧運籃球賽的門票，決定進行拋啤酒瓶蓋的活動，先問學生：“這樣可以嗎?公平嗎?”

學生因為沒有活動經驗，都說可以，老師對學生的猜想結果不妄加評論，然后教師讓學生進行活動，總結活動結果。

問題2：“這樣會公平嗎?”學生終于在活動中結果中得出游戲的不公平性。原來瓶蓋一邊面積大，一邊面積小，重量也不夠均勻。

問題3：“那用什么樣的東西來作決定才會公平?”學生回答：投硬幣，投撲克牌等等。

充分讓學生認識到不同的條件下，游戲的公平性會如何存在，并讓學生進一步認識到：一切皆有可能，盡管不公平，但是也是有可能的。

3.假設性體驗——操作驗證法

解決問題活動的價值不只是獲得具體問題的解，更重要的是學生在解決問題過程中獲得的發展。其中重要的一點是使學生學習一些解決問題的基本策略，體驗解決問題策略的多樣性，并在此基礎上形成解決問題的某些策略，而猜想檢驗法通常是數學方法中最重要的一種。

案例三：“傳統”的雞兔同籠。即“籠子里關著若干只雞和兔，雞和兔共有3個頭，8條腿。則問共有幾只雞，幾只兔?

解決這個問題，初中階段可以用解二元一次方程組的方法；小學階段可以用算術，要求學生想象兔子提起兩只腳等解決方法，但還是有點抽象。同時可以換一個角度，將重點不放在具體的解上，而是放在解決策略——猜想和檢驗策略來解決。

通過猜測并進行檢驗，得到問題的最終答案，即有2只雞和1只兔。猜測和檢驗的策略可以培養學生對數的感覺和估計的能力，使學生經歷建立假設、檢驗假設的過程，發展學生的判斷能力。

4.獲取新成果——推廣變式法

在數學教學過程中對概念、性質、定理、公式，從不同角度、不同層次、不同情形、不同背景作出有效的變化，使其條件或結論的形式或內容發生變化，而本質特征卻不變；或者觀察問題、發現問題、分析問題，變換數學問題的形式和條件，從而把它化歸到容易解決或已經解決的一類數學問題。

案例四：長為18．84厘米、寬為12．56厘米的長方形紙，怎樣圍圓柱的體積最大?

問題1：以長方形的長作為底面周長，以寬作為高時，圓柱的體積是多少?

18．84÷3．14÷2=3（厘米）

3．14×3×3×12．56=354．9456（立方厘米）。

問題2：以長方形的寬作為底面周長，以長作為高時，圓柱的體積是多少?

12．56÷3．14÷2=2（厘米）

3．14×2×2×18．84=236．6304（立方厘米）。

問題3：以長方形的寬為底面周長是長為底面周長的幾分之幾，那么以寬為底面周長，長做高時，圓柱的體積是以長方形的長作為底面周長，以寬做高時圓柱的體積的幾分之幾呢?

即得出結論：用同一張長方形紙圍圓柱，那么以長為底面周長，以寬為高的圓柱的體積與以寬為底面周長，以長為高的圓柱的體積的比等于長與寬的比。

5.關聯知識點——知識遷移法

知識的遷移是指已有的知識對掌握新知識解決新問題的影響。在新知識的初學階段，學習時間和精力的“大量投入”并不是一味地投入到訓練記憶中，而是把主要時間投入到反思和理解中，依靠對舊知識的理解和掌握提高分析問題的能力。

案例五：兩位數乘兩位數。

重視兩位數乘兩位數的橋梁作用，兩位數乘一位數的筆算和兩位數乘整十數的口算是兩位數乘兩位數的基礎。因此，在新授知識之前應復習舊知識。

兩位數乘兩位數筆算豎式的寫法，實際上是把兩位數乘一位數，兩位數乘整十數的乘法和加法三個豎式合起來的一種簡便寫法。兩位數乘兩位數其實是對舊知識的綜合，讓學生在已有的認知基礎上通過適當的類比、延伸實現知識的正遷移。