挖掘解題過(guò)程中的數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)的升華，是知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，它蘊(yùn)藏于數(shù)學(xué)教材的每一個(gè)內(nèi)容，也蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的每一個(gè)環(huán)節(jié).本文中，筆者結(jié)合“求圓的切線方程”這樣一個(gè)問(wèn)題解決的教學(xué)案例，挖掘其中的數(shù)學(xué)思想方法.

【例題】求過(guò)一點(diǎn)P0(2，)且與圓(x-1)2+y2=4相切的直線方程.

1. 數(shù)形結(jié)合

“過(guò)一點(diǎn)P0(2，)且與圓(x-1)2+y2=4相切的直線”是一種抽象的語(yǔ)言，若賦予幾何意義，就變得非常直觀形象，也使已知條件中的點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、所求的直線的特征明朗化和簡(jiǎn)單化.“……畫(huà)出圖形看看.”這就是由數(shù)量關(guān)系到圖形的轉(zhuǎn)化，以此來(lái)尋找解題的突破口.另一方面，對(duì)圖形的性質(zhì)，又可以賦予數(shù)量意義，尋找恰當(dāng)表達(dá)問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系式，用代數(shù)的方法使問(wèn)題得到解決.“如何求k?能否找出關(guān)于k的等量關(guān)系?結(jié)合圖形試一試.”這是由圖形到數(shù)量關(guān)系的轉(zhuǎn)化，“直線與圓相切”的性質(zhì)是圓心到直線的距離等于圓的半徑，于是列出相應(yīng)的代數(shù)式-k+=2;又如“直線與圓相切只有一個(gè)公共點(diǎn)”轉(zhuǎn)化為“由y-=k(x-2)與(x-1)2+y2=4組成的方程組有唯一解，則Δ=0”.數(shù)形結(jié)合的實(shí)質(zhì)是抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形相結(jié)合，是抽象思維與形象思維相結(jié)合，發(fā)揮數(shù)與形的優(yōu)勢(shì)的互補(bǔ)與整合，是數(shù)學(xué)上常用的方法.

2. 聯(lián)想、類比

“以前見(jiàn)過(guò)求直線方程的題目嗎?是怎樣的題目?”這是激起學(xué)生的聯(lián)想.在嘗試解決一個(gè)新問(wèn)題時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察，回憶已有的相關(guān)知識(shí)和解題經(jīng)驗(yàn)，尋找新問(wèn)題和熟知問(wèn)題之間的關(guān)聯(lián).要回憶起某些和目前的題目有聯(lián)系而且以前已經(jīng)得到解決的題目，通常都不是很困難.相反，有時(shí)我們找到的題目很多，需要在其中選出一道有用的題目，這時(shí)，類比的思想也被調(diào)動(dòng)起來(lái).“把現(xiàn)在這個(gè)題跟以前的題目進(jìn)行對(duì)比，已知條件相同嗎?”在觀察、比較中，選出一個(gè)類似的、較易的問(wèn)題，然后利用它的方法或利用它的結(jié)果來(lái)解決當(dāng)前的問(wèn)題.又如“這個(gè)題目的結(jié)論或者解法能否推廣應(yīng)用到其它題目?”舉一反三，觸類旁通，新問(wèn)題得以解決，學(xué)到了新的知識(shí)，新知識(shí)再次被應(yīng)用，得到了鞏固和發(fā)展.聯(lián)想、類比的方法有助于產(chǎn)生一個(gè)解決問(wèn)題的“好念頭”，是探索問(wèn)題解決過(guò)程中的重要方法.

3. 化歸轉(zhuǎn)化

“想到這個(gè)題可以轉(zhuǎn)化為怎樣的題目嗎?”如果我們對(duì)當(dāng)前的數(shù)學(xué)題不能馬上有思路，就會(huì)考慮到化歸轉(zhuǎn)化策略.

本案例中，待解決的問(wèn)題是“求過(guò)一點(diǎn)且與圓相切的直線方程”，通過(guò)數(shù)形結(jié)合、觀察、聯(lián)想、類比、嘗試，最終化歸為一個(gè)已解決的問(wèn)題“求已知一點(diǎn)和一法向量的直線方程”. 為了實(shí)施有效的化歸，有時(shí)轉(zhuǎn)化問(wèn)題的條件，有時(shí)轉(zhuǎn)化問(wèn)題的結(jié)論，有時(shí)轉(zhuǎn)化問(wèn)題的外部形式，如，“求過(guò)一點(diǎn)P0(2，)且與圓(x-1)2+y2=4相切的直線方程”通過(guò)待定系數(shù)法可轉(zhuǎn)化為“求直線方程y-=k(x-2)的系數(shù)k”，“如何求k?”再通過(guò)數(shù)形結(jié)合，又轉(zhuǎn)化為“求解另一個(gè)含k的方程”.總之，在解決問(wèn)題的過(guò)程中，應(yīng)當(dāng)以變化的觀點(diǎn)看待問(wèn)題，遵循化歸的原則，化陌生為熟悉，化未知為已知，化繁為簡(jiǎn)，最終能得到一個(gè)解決問(wèn)題的方案.

4. 順推與逆推相結(jié)合

在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，人們的思考習(xí)慣大多是正面的、順向的.對(duì)例題的解答，一開(kāi)始就遵循順向思維的，即由已知出發(fā)，分析已知條件的特征，把當(dāng)前的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已得到解決的題型來(lái)解答.而在探討例題的其它解法時(shí)，是結(jié)合已知和未知量，設(shè)出所求的直線方程y-=k(x-2)，再挖掘未知系數(shù)k滿足的等量關(guān)系，求出k，從而解得所求的直線方程，這里既有順向也有逆向的思維.特別地，在順向解題遇到困難時(shí)，更應(yīng)該考慮到逆向推導(dǎo)的策略，不妨從未知量出發(fā)逆向思考，或者考慮順推與逆推相結(jié)合.

5. 反思與調(diào)節(jié)

“回顧”是解題過(guò)程中一個(gè)很好的習(xí)慣.“大家能檢驗(yàn)這個(gè)結(jié)果嗎?有其它方法求這個(gè)直線方程嗎?”檢驗(yàn)結(jié)果、探索解題方法的多維性是為了鞏固知識(shí)并更好地利用它.“哪種解題方法最好?能否直接得到問(wèn)題的答案?”通過(guò)對(duì)整個(gè)解題過(guò)程的反思，使解題者對(duì)解題過(guò)程有一個(gè)重新的認(rèn)識(shí)，對(duì)解題方法有一個(gè)恰當(dāng)?shù)脑u(píng)價(jià)，提高解題的有效性.“這個(gè)題目的解法能否推廣應(yīng)用到其它問(wèn)題?”通過(guò)練習(xí)，讓解題方法得以再實(shí)踐，在實(shí)踐中再反思，并在原有的解題方法的基礎(chǔ)上作出分類、改進(jìn)和調(diào)節(jié)，以實(shí)現(xiàn)解題方法的優(yōu)化.反思與調(diào)節(jié)是一種更高層次的思維，是優(yōu)化解題方法的重要途徑，也是讓學(xué)生學(xué)會(huì)創(chuàng)造性地解題的一種思維訓(xùn)練.

責(zé)任編輯 羅 峰