分離法解題初探

分離法是通過(guò)對(duì)問(wèn)題中的數(shù)、式、形等的分離，使問(wèn)題變得更易于解決的一種思維方法.分離法思想在中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用中非常廣泛，其本質(zhì)就是化歸和變換.中學(xué)階段加強(qiáng)分離法的教學(xué)，有利于提高學(xué)生的解題能力和數(shù)學(xué)素質(zhì)，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新思維和創(chuàng)造能力，本文旨在通過(guò)對(duì)參數(shù)、式、形的分離，探討分離法的解題功能.

一、參數(shù)的分離

參數(shù)問(wèn)題是近幾年高考、競(jìng)賽的熱點(diǎn)，解決含參數(shù)問(wèn)題常用分離法.通過(guò)參數(shù)分離，使問(wèn)題簡(jiǎn)化，達(dá)到化繁為簡(jiǎn)，化難為易的目的.

1. 曲線恒過(guò)定點(diǎn)的問(wèn)題

有關(guān)含參數(shù)的曲線方程的恒成立問(wèn)題是學(xué)生普遍感到困難的問(wèn)題.參數(shù)與主變?cè)诲e(cuò)在一起，目標(biāo)不明確，將參數(shù)分離出來(lái)，可使問(wèn)題明朗化.

例1 已知2a=3b=1，證明直線ax+by=5恒過(guò)定點(diǎn).

分析:由2a-3b=1，得a=

(3b+1)，代入直線方程后分離參數(shù)b，得(x-10)+b(3x+2y)=0，由方程組x-10=03x+2y=0，解得x=10y=-15.

∴方程(x-10)+b(3x+2y)=0表示過(guò)兩條直線x-10=0與3x+2y=0的交點(diǎn)(10，-15)的直線系的方程，故直線ax+by=5在2a-3b=1時(shí)恒過(guò)定點(diǎn)(10，-15).

2. 方程恒有解的問(wèn)題

分離參數(shù)法源于函數(shù)思想、化歸思想.在含有參數(shù)的方程中，將參數(shù)視為主變?cè)暮瘮?shù)，若能通過(guò)適當(dāng)?shù)暮愕茸冃危狗匠桃欢嘶芍缓袇?shù)的解析式，而另一端為與參數(shù)無(wú)關(guān)的主變?cè)瘮?shù)，函數(shù)關(guān)系就由“隱”轉(zhuǎn)化為“顯”，我們只要能求出主變?cè)瘮?shù)的值域，則參數(shù)的取值范圍便可以確定了.

例2 關(guān)于x的方程9x+(4+a)#8226;3x+4=0恒有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析:分離參數(shù)a，得-(4+a)=3x+≥4.

∴ -(4+a)≥4，即a≤-8

當(dāng)a≤-8時(shí)方程恒有解(x=log32時(shí)取“=”號(hào)).

此例充分體現(xiàn)了分離參數(shù)法的優(yōu)越性，顯然要比“判別式”法簡(jiǎn)捷且不易出錯(cuò).

3. 不等式恒成立問(wèn)題

恒成立條件下不等式中參數(shù)的取值范圍問(wèn)題、涉及的知識(shí)面廣、綜合性強(qiáng)，同時(shí)數(shù)學(xué)語(yǔ)言抽象，從題目在如何提取可借用的知識(shí)模塊往往捉摸不定，難以尋覓.但是若能將參數(shù)分離出來(lái)，建立明確的關(guān)系，則由下述兩個(gè)基本命題便能簡(jiǎn)捷地求出參數(shù)的取值范圍.

例3設(shè)a<1，b<1，c<1，a、b、c∈R求證ab+bc+ac+1>0.

分析:此題變量較多，條件又比較難用，很多學(xué)生會(huì)感到難以入手，如果通過(guò)構(gòu)造函數(shù)f(a)=(b+c)a+bc+1的方法分離主元a，再使用數(shù)形結(jié)合的思想求解，問(wèn)題就可以迎刃而解.

二、式的分離

式的分離主要包括:整式分離與等式(不等式)的分離二種形式，在不改變題意的前提下，通過(guò)對(duì)整式、等式(不等式)的分離，會(huì)使問(wèn)題變得更特殊、更簡(jiǎn)單.

例4 在銳角△ABC中，求證:sinAsinB+sinC>cosA+cosB+cosC.

分析:此題直接求證較困難，針對(duì)結(jié)論特點(diǎn)可作如下形式的分離，會(huì)使問(wèn)題得到巧妙、簡(jiǎn)潔的證明.

分離一:轉(zhuǎn)化為證sinA>cosB;

分離二:轉(zhuǎn)化為證sinA+sinB>cosA+cosB;

分離三:轉(zhuǎn)化為證sinC>2cosA.

三、形的分離

幾何圖形(規(guī)則的與不規(guī)則的)可通過(guò)形的分離，使立體幾何問(wèn)題平面化，復(fù)雜圖形簡(jiǎn)單化.其中圖形的分解與降維是最常用的二種分離.教材中球的面積公式和錐體的體積公式就是使用分離法推導(dǎo)出來(lái)的.

1. 圖形的分解

把不規(guī)則的、復(fù)雜的幾何體分解成規(guī)則的、簡(jiǎn)單的幾何加以處理的思維過(guò)程稱為圖形的分解.一個(gè)圖形的分解方法可能有種種形式，如何合理地選擇分解方法是圖形分解的關(guān)鍵.

2. 圖形的降維

圖形的降維就是把圖形從高維到低維的一種思維策略，立體圖形的降維特別要重視一些關(guān)健面，如中截面、軸截面、側(cè)面展開(kāi)圖等.

例5 如右圖1，已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1，點(diǎn)E在棱D1D上，截面EAC∥D1B，且面EAC與底面ABCD所成的角為45°，AB=a，求三棱錐B1-EAC的體積.

分析:由如圖1知:V-EAC=S△EAC#8226;B1Q或V=2#8226;V=2#8226;S△EOB#8226;AO.

上面兩種求法都宜把平面圖形BDD1B1分離出來(lái)(如圖2)，從而轉(zhuǎn)化為平面幾何來(lái)處理.

責(zé)任編輯 羅 峰