英國Ａ水平數學考試分析及其啟示

中圖分類號：G610 文章標識碼：A 文章編號：1673-4289(2009)04-0018-04

一、英國A-level考試（高考）簡介

英國考試項目繁多，最普遍的考試包括普通中學教育證書考試—GCSE(General Certificate of Secondary Education的縮寫)和A-level（Advanced Level）科目的GCE(General Certificate of Education的縮寫)考試。前者相當于中國的中考，考生年齡多在16歲左右，英國習慣稱為“16歲考試”；后者則相當于中國的高考，考生年齡多為18歲，英國習慣上稱之為“18歲考試”。在GCSE考試中取得5個A-C等級的學生通常會繼續學習兩年(也稱這兩年學習時間為第六學級或第五學段)，接受高級水平教育或叫英國高中課程，即A-level課程，學習期間可參加A-level課程的GCE考試。A-Level課程考試成績證書被幾乎所有以英語授課的大學作為招收新生的入學標準，也就是說它不僅被英國所有大學承認，同時也被加拿大、澳大利亞、新西蘭等英聯邦國家和美國承認。另外，它還被德國、法國等國家的大學承認。迄今為止，世界上已有150多個國家和地區的11000所大學承認該課程合格證書。新加坡甚至直接將該課程考試作為大學入學的全國統一考試。英國大學一般根據學生至少3門A-level考試的成績進行錄取。英國的大學入學考試和中學畢業考試是合一的，主要由五個考試機構（CIE、OCR、AQA、EDEXCEL、CCEA考試局，均非官方機構）分區獨立組織實施，依據GCE考試結果，獨立選拔學生。選拔標準各校、各系都不一樣。英國的A-level考試實行等級制，A等最高，E等為合格。近些年，有些高校申請者A等考生太多，無法分出高低，不得已再對申請者單獨組織考試，進行綜合評價后確定錄取標準。1989年又增設了高級補充水平(即AS)考試，高級補充水平考試課程內容相當于高級水平考試課程的一半，所以兩科高級補充水平考試相當于一科高級水平考試。為了使高能力的考生充分發揮自己的水平，考試機構又在部分高級水平考試內，新設特殊試卷(Special Paper)考試，特殊試卷的題目難度較大，取得較好成績的考生在大學錄取中占有很大優勢。

GCE考試科目很多，僅A-level考試（Advanced Level）就有40科左右。既有語言、歷史、地理、數學、統計學、計算機科學、物理、化學等學術性科目，也有木材加工、機械制造、工藝創作等技術性科目。GCE的各個考試機構每年考試科目都不同，考生不受居住地限制，可以到任何一個GCE考試機構申請考試?？忌梢愿鶕约旱呐d趣愛好，任意選考各種科目。不過，為了升入向往的大學，考生還要考慮大學在錄取條件中對考試科目的要求。考試合格發給合格證(單科)，在所有采用GCE考試成績的大學通用，其中英語、數學和綜合理科等一些核心課程是考生必考科目，其余各科可以任選，每個考生平均選考6~7門。A-Level課程考試成績把百分制按照不同得分段給出A(80-100分)、B(70-80分)、C(60-70分)、D(50-60分)、E(40-50分)、U(40分以下)幾個標準，得U的同學被認為該考試沒有通過，一般大學不會錄取。

A-level課程的學習和考試在中國大陸地區屬于起步狀態，深圳國際交流學院已有兩屆畢業生，北京、上海也有學校在舉辦A-level課程班，但這些學校均為國際學校，只招收外籍學生。山東省的青島科技大學剛剛獲得A-level考試權，2008年起每年招收50名業余制高二、高三在讀學生，從2008年7月起青島科技大學在山東省內招收全日制初中畢業學生100人，學制3年，前一年半參加O-level（英國普通教育證書，相當于中國的高二會考）考試，后一年半參加A-level課程的GCE考試。中國學生就讀英國高校最大障礙是英語，英國高校接受外籍學生對英語的一般要求是托福550分以上或者雅思成績5.5分以上，近些年中國大多數留學英國的中學生先到英國就讀大學學前預科班或專門的語言學校，在預科班或專門的語言學校同時學習英語和A-level課程，在通過語言關后，再參加A-level課程考試。國內也有些專門針對英國留學的服務機構，通過這些機構學生可以直接進入打算申請的大學或學院舉辦的大學預科班，在預科班學習半年或一年的英語和大學本科預科課程后，再通過該大學或學院的自設考試就可以直接獲得該學校的入學錄取通知書。

二、英國A水平數學考試簡介

A-Level的有些課程，比如數學和物理，程度相對較淺，課程難度不能和我國國內相比。但是另一方面，它們牽涉的范圍都很廣，比如數學就要學微積分中的二階導數等。A-Level的數學一般分為三個單元:純數學（Pure Maths）、核心數學（Core Maths）、力學數學（Mechanics Maths）、統計學（Statistics），由于大多數中國學生數學基礎扎實，數學對于中國學生來說可能是最簡單的一科，A-Level的GCE數學考題對中國大多數學生來說比較淺顯易懂，每年的GCE數學考試題都來自課本上的例題和習題原題或稍做改動，考試前只要能夠把課本上的例題、習題搞清楚，一般能夠解決絕大多數數學考試題。但是不同的考試機構組織的GCE考試大綱不同、難度也不同，CIE考試局的數學試題就比EDEXCEL考試局的數學題難得多。英國第6學級階段沒有統一的國家課程標準，不同的考試機構每年公布不同的GCE考試大綱，但是不同大綱之間也基本上圍繞1993年聯合入學考試委員會（JMB）公布的A-Level大綱變化。JMB的A-Level大綱主要包括：

（1）基礎：函數及其圖象、數列、代數方程根的位置、不等式等。

（2）微積分初步：變化率的概念、曲線與曲線上切線的關系、多項式微分、斜率。

函數的圖象、極大值優化應用、面積和面積的符號約定、微積分基本定理、不定積分等。

（3）函數：函數記號、復合函數、反函數、公式變形、絕對值函數、三角函數、指數函數等。

（4）數學方法：勾股定理的應用、圓與球的方程、橢圓的參數方程與普通方程、三角倍角公式、三角方程、二維和三維中直線的向量方程以及相應的數量積、兩直線交角、兩平面交角、二項展開式等。

（5）微積分方法：微分法、積的求導及其應用、商的求導、復合函數微分、反函數微分、簡單微分方程、旋轉體體積、分步積分等。

（6）復數：復數的幾何表示、復數的算術運算和幾何解釋、代數基本原理、整數的棣莫弗定理、復平面上的映射等。

（7）矩陣：作為數的陳列的矩陣、矩陣算術、矩陣代數、轉移矩陣等。

（8）數學結構：集合定義、交與并的布爾代數、布爾代數在開關電路中的應用、群、子群、群的同構、反證法、歸納法等。

（9）微分方程：解一階微分方程、邊界值和初始條件、二階方程、分離變量法、一階線性微分方程、二階線性微分方程等。

(10)數值方法：誤差的算術、浮動小數點算術的誤差、泰勒多項式逼近、級數的收斂、數值梯度、解微分方程的精確度等。

（11）牛頓運動定律：數學建模、速度、距離和時間圖象的解釋、向量、動量守衡定律、牛頓運動定律等。

（12）生活中的不確定現象：數據解釋、數據的圖象表示、平均數、中位數、方差、標準差、隨機事件、互斥事件、條件概率等。

（13）問題解決：建立模型、分析數學問題、解釋數學問題、證實解答、猜想與嚴格性等。

JMB公布的A-Level大綱內容較多，限于篇幅，本文選列部分內容，各GCE考試大綱只參考該大綱，實際考試內容遠少于上述范圍，難度也遠低于上述要求。

三、英國高考數學試題及分析

（一）英國A-Level高考數學試題形式舉例(EDEXCEL考試局2007年純數學試題)

1．化簡（3+）（3-）。

2．(a)求出的8值。 (b)化簡。

3．如果y=3x2+4，分別求出，，ydx的值。

4．一個女孩存錢超過200個星期，第一周存了5分錢，第二周存了7分錢，第三周存了9分錢，依次類推，一直到第200周，她每周存的錢數形成一個數列。

（a）計算她在第200周存錢多少？

（b）計算她在200周內一共存錢多少？

5．下圖1表示函數y=，x≠0的函數曲線。

（a）在另一個坐標系內，畫出函數y=，

x≠-2，并且標出函數圖象和坐標軸的交點坐標。

（b）寫出（a）中函數曲線的漸近線方程。

6．（a）通過從兩個方程y=x-4，2x2-xy=8中消去y，得出方程x2+4x-8=0。

(b)解方程組y=x-42x2-xy=8，并且把x和y表示成a+b的形式，這里a，b是整數。

7．方程x2+kx+(k+3)=0有不同的實根，這里的k是常數。

（a）解不等式k2-4k-12>0。

（b）寫出滿足條件的k的集合。

8．數列a1，a2，a3，a4滿足條件：a1=k，an+1=3an+5，n?莛1，這里k是正實數。

（a）用含有k的代數式表示。

（b）驗證a3=9k+20。

（c）(ⅰ)用含k的代數式表示ar。

(ⅱ)驗證ar說明能被10整除。

9．函數的y=f(x)曲線C過（5，65），已知f' (x)=6x2-10x-12。

（a）求不定積分f (x)。

（b）化簡f (x)=x(2x+3)(x-4)。

（c）在直角坐標系內畫出曲線C的圖形，并且標出曲線C和x軸的交點坐標。

10．函數y=x2(x-6)+，x>0的圖象是曲線C，曲線C上兩點P和Q的橫坐標分別是1和2。

（a）驗證線段PQ的長度是。

（b）驗證曲線C上過P和Q兩點的切線平行。

（c）求出曲線C上過P點的法線，法線方程寫成形如ax+by+c=0的形式，其中a，b，c是整數。

（d）x-13y-14-0。

11.直線l1:y=3x+2和l2:3x+2y-8=0。

（a）l2的斜率是多少？

（b）求兩直線l1，l2的交點P的坐標。

（c）直線y=1和直線l1，l2分別交于點A和B兩點，求出△ABP的面積。

（二）英國高考數學試題分析

1.A-level數學考題對中國學生來講相對簡單。可以看到，作為高考試題，除了微積分、平面解析幾何、數列屬于中國學生在高中的學習內容，其余的知識基本上都是中國初中階段的數學知識，中國學生只要具備基本的數學專業英語水平就可以在A-level考試中得到高分，中國學生扎實地數學基本功也使英國高校對中國學生越來越感興趣。

2.A-level數學考試既注重對知識積累程度的考察，也注重對各種能力的測試?？梢钥吹紾CE數學考試不同于美國的SAT考試，A-level純數學考試中主要考查學生數學概念、性質和簡單的運算技能，對學生問題解決能力的考查主要集中在力學數學（Mechanics）中考查，這樣就可以分別測試學生的各種數學水平。

3.注重考查學生對數學概念、性質的數學實質的理解。例如第6題，通過讓學生對兩個方程消元后再比較一個與消元結果同解的一元二次方程，了解學生對消元法解方程組的數學意義。第9題的解答要求學生充分理解函數圖形在定義域內各個部分的單調性和導數之間的關系，巧妙的設計考查到學生對相關數學知識的數學實質意義的準確理解。

四、英國A-level數學高考對我國高考的啟示

（一）A-level考試主要由高校每年根據本校各個專業特點確定考生需要參加的考試科目。這樣考生就可以有目標地學習相應課程，而且每所高校所需課程不多于5~6門，學生不會有太大壓力。英國中學教師也不會通過大量模擬題訓練學生來應付考試。因為一個班級中不同學生報考的學校不同，科目也不同?？记皟芍軐W?；旧隙挤偶伲瑢W生自己復習。當然這也和文化傳統、經濟環境、就業環境有很大關系。我國高考改革可以借鑒英國每年多次高考的模式，不同高校自己確定參考學生的高考科目，讓高校有自主決定的權利。英國很多高校不直接受理考生的申請，通過UCAS集中統一辦理，從而提高了辦事效率，各高校招生工作任務大大減輕，因此各高校內部招生工作人員較少，如威爾士愛博瑞斯維斯大學每年招收本科生4000余人，學校負責本科招生的部門僅有3名工作人員。

（二）A-level考試中數學分為三部分，分別記分，高?？梢愿鶕拘I特點錄取某方面比較突出的學生。我國高考只分文理數學考卷，不考慮工科、醫科、理科等各個門類以及各個專業的不同需求特點，對此，我們可以借鑒英國數學考試方式，把數學考試分成幾部分，根據學科門類、專業使其各有側重。

（三）不宜在我國輕易采用英國高考、錄取方式。英國社會有較高的誠信制度和傳統的思想支撐，在高?？荚嚭弯浫」ぷ髦泻苌佼a生因為工作人員腐敗導致成績低下的考生進入高校的情況。但是在中國，誠信機制和信用制度還不健全和成熟，預防措施也欠缺，如果貿然采用民間機構組織考試、采用以人為面試為主的錄取方式，勢必造成考試、錄取腐敗，公平受染。

（四）近些年，越來越多的英國人懷疑A-level考試。批評者認為：考試過分看重能否及格，而忽略了對各門學科的真正理解；迫于應試，目前中學教與學都比較匆忙而膚淺，探究性學習不足；學生參加課外活動和其他社會活動的時間越來越少；約有一半考生不能在GCSE考試中取得5個C以上的成績，也就意味著他們不能升入高中；A-level考試深度有余而廣度不足，難度太大。英國正在醞釀中學考試制度改革，改革方案試圖達到以下目標:建立一個將初中和高中合二為一的新體制，所有中學生將學習相同的核心課程，包括語文、數學、計算機、團隊合作、問題解決等，在此基礎上再根據個人需要和去向選擇各專業的學習內容;書面考試將減少，教師將更加重視對學生平時的評價，學生的實踐經驗和業余愛好將得到承認;學生的成績沒有及格和不及格之分，他們的考試證書將被分為4級——入門、基礎、中級、高級，其依據是學生的綜合素質，包括個人品質、普通技能、體育、藝術、支援者活動等；中學生獲得的文憑將不再分為學歷文憑和職業資格證書，努力改變職業資格證書逐步貶值的趨勢。上述A-level考試中存在的缺點在我國高考中也或多或少存在，中國高考也需要思考逐步完善的方式。

（作者單位：瓊州學院數學系，海南，三亞 572000）