數形結合，促成算理與算法的有效融合

王少平

蘇教版國標本數學教材三年級上冊“商末尾有零的除法”教學片段：

教師先出示一道上節課學過的“兩位數除以一位數”的題：63÷3，學生很快算出結果“21”。

教師緊接著出示“62÷3”，師生共同列豎式，得出“個位上的2除以3不夠商1，就商一個比1小的數‘0”，結果是“20……2”。師結語：“個位上不夠商1時，就寫0占位。”

隨后，教師出示例題，明確題意后列出式子：62÷3。

師：“怎樣把這62個羽毛球平均分成3份呢？想辦法分一分。”

學生們有的看圖，有的用小棒操作。之后匯報交流：先把60個羽毛球平均分成3份，每份20個，余下的2個不夠分成3份，余數就是2。

教師板書：“62÷3＝20（個）……2（個）”。

反思：在計算教學中，存在著一對基本矛盾——算理直觀與算法抽象。案例中，教師避重就輕，把“商末尾有零的除法”的關鍵部分處理得極為草率，只是借助上節課的“筆算兩位數除以一位數”，依葫蘆畫瓢式的讓學生得出“62÷3＝20……2”。對于豎式里的“商的十位上為什么寫2？商的個位可不可以不寫0？”這樣的核心問題，學生還沒有完全弄明白，新授部分就結束了。教師在算理和算法之間劃清界限、淡化了算理和算法之間的聯系，不利于學生理解算理和掌握算法。

其實，在算理與算法之間有著密切的關系：算理是客觀存在的規律，為計算提供了正確的思維方式，保證了計算的合理性和正確性，它是算法的理論依據；算法為計算提供了快捷的操作方法，提高了計算的速度，它是算理的提煉和概括，二者是相輔相成的。要實現二者的有效融合很有必要，它不僅關系著算理能否掌握，還直接關系算法能否落實。怎樣將二者融合呢？

教者采用數形結合的方式進行了二次設計，下面呈現的是對三者進行溝通聯系時的一個完整板書：

教學中，師生的交流圍繞兩個中心問題展開：①為什么商中的“2”要寫在十位上？②為什么商的個位上要寫0？這兩個問題正是“商末尾有零的除法”的難點所在。課堂上，師生把情景圖、算理、算法三者緊密聯系在一起，并以板書的形式呈現出來，學生在理解以上這兩個中心問題時就有的放矢了，師生間有如下的一段精彩對話：

師：為什么2要寫在商的十位上。

生1：因為它表示20，如果寫在個位上就表示2了！

生2：因為是先把60個羽毛球平均分成3份的，每份是20個，所以2要寫在十位上，表示20。

師：老師聽明白了！誰又能說一說，為什么商的個位上要寫0呢？

生1：個位上的兩個羽毛球不夠平均分成3份，不夠商1，就商一個比1小的數‘0，個位上的‘2就余下來了。

生2：“0”是用來占位的，因為商的十位上是2，如果個位上不用0占位，不就變成‘2了嗎？

……

學生利用直觀的分一分，不僅理解了算理，而且有效地突破了算法上的難點。著名數學特級教師徐斌老師說過：應該給計算教學加點“甜味”，即在算理直觀與算法抽象之間架設一座橋梁，鋪設一條道路，讓學生在充分體驗中逐步完成動作思維→形象思維→抽象思維的發展過程。在筆者看來，數形結合就是“甜味”、“橋梁”和“道路”。華羅庚先生說過，“數缺形時少直觀，形少數時難入微”。他認為僅就數而論，則缺乏直觀性；僅就形而論，則缺乏嚴密性。數形結合可以把抽象的數學語言與直觀的圖形相結合，把抽象思維與形象思維相結合。只有二者結合時才可以優勢互補，收到事半功倍的效果。不少教師認為計算教學簡單枯燥，但在徐斌老師的課堂上，這種簡單枯燥可以轉化為“火熱的思考”。下面呈現的是徐斌老師執教“一位數乘兩位數的筆算”的一個精彩片段，相信大家會對如何通過數形結合溝通算理與算法之間的聯系有更深刻的認識。

教學中，徐老師首先出示情景圖，明確題意，列出算式：2×14。接著讓學生自主探索計算方法，學生們有的看圖知道得數，有的用加法算出得數，有的用小棒擺出得數，也有的用乘法算出得數。然后組織學生交流自己的算法，老師板書初始豎式（圖1）：

同時結合講解、教具演示、學具操作進行數形結合，引導學生將這一豎式簡化（圖2）。這里，徐老師沒有一味地講解算法，而是緊緊聯系算理，通過教具、學具的演示操作，讓學生在直觀算理的支撐下去學習抽象的算法，注重數形結合，將直觀的算理與抽象的算法有機融合，使學生直觀、明了地理解了原本抽象的算法，建立起豎式計算的模型。這樣的教學以思維為主線、以算理為先導、以創造為契機，學生不但理解了算理，而且創造出了簡便的計算方法，并歸納出計算法則，實現了算理與算法的有效融合。