數學教學中培養學生空間觀念“三步曲”

孔新偉

何謂“空間觀念”，《數學課程標準》認為空間觀念主要表現為“能夠由實物的形狀想像出幾何圖形，由幾何圖形想像出實物的形狀，進行幾何體與其三視圖、展開圖之間的轉化”。空間觀念的發展是一個包括觀察、想像、比較、綜合、抽象分析，不斷由低到高向前發展地認識客觀事物的過程。數學教學怎樣有效地促進學生空間觀念的發展呢？筆者認為,關鍵是引領學生在“形象”與“抽象”之間反復跳轉，讓其在螺旋式跳轉中逐步建構起對空間與平面相互關系的認識。具體可分三步走。

一、 “形象→表象”：空間觀念發展的經驗儲備階段

學生的空間知識來自豐富的現實原型，他們的空間觀念是在生活經歷中與客觀環境不斷接觸時逐步形成和發展起來的。心理學研究表明：學生學習幾何知識時，要從具體事物的感知出發，獲得清晰、深刻的表象，再逐步抽象出幾何形體的特征，以形成正確的概念。可見，儲備學生的現實原型表象是發展學生空間觀念的前提條件。那么，教學中怎樣創造條件促使學生由“形象”向“表象”過渡呢？教師可以讓學生對生活經驗進行回憶，充分利用學生的視覺、聽覺、觸覺等多種感覺器官，讓學生通過看一看、摸一摸、量一量、比一比、想一想、畫一畫、折一折、擺一擺、剪一剪等實踐活動，促使“實物表象→模型表象→圖形表象”逐級提升，從而以豐富的表象作為建立空間觀念的堅實載體。

例如，教學“長方體的認識”時，教師首先引導學生回憶生活中哪些物體的形狀是長方體的，學生舉出了粉筆盒、牙膏盒、電冰箱、電視柜等等，教師引導學生閉上眼睛想象：這些長方體物體的形狀是怎樣的，它們有什么共同的地方（想象后和同桌互相說一說）。通過這些活動以建立學生的實物表象。在此基礎上，教師給學生提供長方體模型學具，讓學生進行看一看、摸一摸、數一數、拆一拆等操作活動，建立起模型表象。然后，再次讓學生閉上眼睛想象：通過剛才的操作活動，你覺得長方體應該是一種怎樣的形狀？最后讓學生看著模型，將想象的結果在紙上用簡單的圖表示出來（學生畫得是否標準并不重要，重要的是將自己想象的結果真實地呈現出來），并說一說在畫的時候要注意什么。通過畫形象圖，促進學生的空間想象由“形象”向“表象”躍進，最終使學生形成較為準確、清晰的圖形表象。

二、 “表象→抽象”：空間觀念發展的理性分析階段

當學生具備了一定的表象經驗之后，要不失時機地引導學生將形成的表象進行提煉、概括，即透過表面的現象找出事物的本質特征，因為學生只有充分認識了空間與圖形的本質特征后，才能真正運用空間表象進行一系列的思考活動，解決空間與圖形領域的問題，從而形成含有理性成分的空間觀念。《數學課程標準》也指出了空間觀念在分析和抽象層次上的表現，如“能從較復雜的圖形中分解出基本的圖形”、“能描述實物或幾何圖形的運動和變化”、“能采用適當的方式描述物體間的相互關系”等等，這些要求都是在學生具備一定的空間表象基礎上，提出了根據圖形的本質特征在邏輯上對圖形關系進行分析與操作。那么，在教學中怎樣引導學生對空間表象進行邏輯推理和抽象概括，從而發現空間與圖形的本質特征？可以采取如下一些策略：

1.觀察——比較

給學生提供具體材料，讓學生通過觀察比較，發現空間與圖形的規律性特征。例如，上“觀察物體”一課，指名不同學生用數碼相機為一個同學進行不同方位的拍照，并把這些照片展示出來，讓學生仔細觀察這些照片，通過比較，猜一猜每一張照片是小攝像師站在哪個方位拍的。然后進行親自的本位、換位觀察學具，通過交流比較后得出：同一件事物，觀察的角度不同，所得的結果也就各不相同。

2.操作——感悟

給學生提供豐富的動手材料，放手讓他們通過操作去感悟空間與圖形的特征，獲得親身體驗。例如，上“圓的認識”時，給學生提供圓形紙片，學生通過折紙感悟到：圓的半徑有無數條，長度都相等，直徑也有無數條，長度也都相等，在同一個圓里，直徑是半徑的2倍，學生還發現了圓是軸對稱圖形，兩次對折后可以找到圓心，等等，所有這些內在規律都可以通過操作圓形紙片得到證明。

3.猜想——驗證

鼓勵學生根據已有的表象經驗，對空間與圖形的本質特征進行大膽假設，引領他們進行猜想和驗證的探究活動。例如，學習“平行四邊形的面積計算”，教師先讓學生大膽猜想平行四邊形的面積計算方法，不少學生受長方形的負遷移影響，認為平行四邊形的面積也是“兩邊相乘”。教師“將錯就錯”，引導學生展開驗證活動，出示下圖：

學生通過探究，發現“a×b”是長方形的面積，它大于平行四邊形的面積，而算平行四邊形的面積，要將長方形外的小直角三角形平移進來，將平行四邊形轉化成長方形來計算，從而得出“底×高”的結論。

4.試驗——發現

為學生創設“試驗”的情境，讓他們通過親自嘗試、篩選，發現規律，得出結論。例如，前面舉過的例子“長方體的認識”，當學生具備了一定的長方體表象后，要引導學生對長方體的本質特征展開探索：提供長方形（多于6個）和小棒（多于12根并有接頭），讓學生選擇其中所需部分，組裝成一個長方體。學生要根據已有的表象經驗，判斷出所需材料的數量，然后提出假設，確定試驗的范圍，接著逐一進行試驗，通過試驗篩選，完成長方體的組裝，在組裝過程中發現長方體“面、棱、頂點”方面的內在特征。

三、 “抽象→形象”：空間觀念發展的檢驗應用階段

當學生經過抽象概括獲得空間理性認識后，接下去要將這些抽象概念具體化，一方面是檢驗概念的外延范圍，另一方面是運用所學知識來解決一些實際問題，在實際應用中進一步鞏固和深化空間概念。《數學課程標準》也進一步指出，空間觀念的表現還包括“能運用圖形形象地描述問題，利用直觀進行思考”。該階段的“形象”和第一階段中所講的“形象”已有本質的區別：第一階段中的“形象”是指利用學生頭腦中已有的“直觀經驗”，它是在要學的概念之前，是零散、瑣碎、模糊的；而此時的“形象”是學生已經獲得理性認識之后，將理性概念運用到具體中去，尋找形象例子，以進一步驗證概念的正確性和范圍，并解決一些實際問題。

例如，學習“圖形的認識”，學生經過猜想、操作驗證后獲得了“三角形不容易變形，四邊形容易變形”這一理性認識。為了檢驗這個規律的普遍性，教師引領學生展開了一系列的活動：首先拿出一把會搖動的椅子讓學生坐一坐，問學生有什么感覺，學生說椅子壞了，坐不穩，教師讓學生討論怎樣應用三角形穩定性的特征來修理這把椅子，并親自動手把它修好，然后再次坐一坐，檢驗是否能坐穩了；教師還帶領學生到馬路旁、商店內觀察，哪些地方用到三角形的穩定性？哪些地方運用到平行四邊形的不穩定性？經過這種實地的觀察、觸摸，學生對這些本質特征確信不疑，并深深地體驗到了數學的應用價值，增強了學習數學的興趣。

總之，空間觀念是以學生豐富的空間經驗為出發點，在活動體驗的過程中逐步建立、形成、強化和發展起來的，它需要一個漫長的過程。只要我們堅持沿著“形象→表象→抽象→形象”的軌跡，不斷地循環下去，學生的空間觀念就會從無到有、從少到多、從模糊到清晰地發展，學生的空間想象力也會由弱到強、由低級到高級、由單一到復雜地不斷提升。

責任編輯：陳國慶