轉換分析問題角度加強數學思維訓練

祁習陽

【摘要】小學數學教學中,與概念、分式、定律、性質和法則并重的,無疑要推解題計算了。我們以為,解題教學中,很重要的一點是在掌握一般解法的同時,還應當教會學生標新立異,破常規,換角度,重分析,講創新,學用結合,強化思維訓練,實現知識與能力的同步發展。本文擬從三個方面談談解題教學當中,如何轉換分析角度,加強思維訓練。

【關鍵詞】數學教學 轉換 思維 訓練

一、四則運算中,要通觀全題,轉換思路,訓練思維的靈活性和簡潔性

四則運算中同樣要講究思維的靈活和簡潔,要防止僵化,避免繁瑣。

例1計算55/3514×5/7。

分數乘法,按法則學生常常不加思索,先把帶分數化為假分數,爾后再乘。但觀察本題,63與5/7,49/55與 5/7分別可以約簡和約分,因此結合學過的知識,有原式=(63+49/55)×5/7=63×5/7+49/55×5/7 =45+7/11=502/11。

整個計算靈活而簡潔。

例2計算(11-11/36)+(9-11/36×5)+(1-11/36×3)+(5-11/36×9)+(3-11/36×7)+(7-11/36×11)。

要是按部就班先算出每個小括號內的結果,是麻煩的。但分析比較每個小括號內的被減數和“減數”,馬上會使我們想到去括號,并靈活地將被減數和“減數”重新組合起來,于是有

原式=(11+9+7+5+3+1)-11/39×(11+9+7+5+3+1)

=(11+9+7+5+3+1)×(1-11/36)

=36×25/36=25

此處思維的靈活性還體現在乘法分配律對減法的通用。

二、應用題求解中,要抓住數量關系,轉化思路,訓練思維的深刻性和創造性

抓住應用題的數量關系,探索問題的實質,積極主動地發現新路子,提出新見解,為最終創造性地解決問題服務。

例3一杯牛奶,甲第一次喝了半杯,第二次又喝了剩下的一半,就這樣每次都喝上一次剩下的一半,問甲五次一共喝下多少牛奶?

這道題本身不難。把五次所喝的牛奶加起來即出結果。但要是這樣想:甲喝過五次后,杯中還剩多少奶?一杯牛奶減去剩下的,不就是喝下的了嗎?這一思路的有新意。如果再以一個正方形表示一杯牛奶,則右中陰影部分就表示已喝下的牛奶。而不帶陰影的部分為所剩牛奶。那么1-1/32=31/32(杯)即甲所喝牛奶。以上思維就比較深刻且數形結合,富有創造性。

例4某筑路隊計劃6天鋪900米水泥路,結果提前一天完成了任務。問工作效率提高了百分之幾。

常規解法不成問題,其綜合算式及結果為:

[900÷(6-1)-900÷6]÷(900÷6)=0.2=20%。

變換思路:提高工效后5天鋪好,原計劃6天鋪好。也就是說現在鋪一天相當于原計劃鋪6÷5=1.2(天),因此,現在的工效是原來的120%,從而工效提高了20%。其綜合式是

6÷(6-1)-1=20%

這一解法別開生面,獨到而巧妙。

三、面積計算中,轉化著眼點,訓練思維的廣闊性和有序性

小學幾何的面積計算中,學生常常苦于思路閉塞。教學中應采用輔助線或形變換等,啟發學生分析。分析的著眼點不同,解題思路也不同。解法也會不一樣,這種一題多解或一法多用正是思維廣闊性的體現。

例5正方形的邊長為8厘米,求1中陰影部分的面積(為方便計,取3作π的近似值)。

要求陰影的面積,就1,思考路子不很明顯。一旦作出正方形對邊中點的連線(1─1),思序就容易入軌。

析解1從形可以看出陰影的面積就等于大直角扇形的面積減去①、②、③三塊形面積所得的差。即

S[,陰影]=S[,大扇形]-S[,①]-S[,②]-S[,③]

=π/4-8[2,]-(4[2,]-π/4×4[2,])-4[2,]-π/4×4[2,]

=48-(16-12)-16-12

=16(平方厘米)

析解2觀察1,連對角線,并作適當割補(1─2),由1─2,很快可發現陰影的面積就等于大直角扇形的面積減去一個直角三角形的面積的差,所以

S[,陰影]=S[,大扇形]-S[,直角三角形]

=π/4×8[2,])-1/2×8×8

=48-32

=16(平方厘米)

析解3就1,再作一個對稱的直角扇形(1─3),我們把陰影塊標(一),其余三塊分別標上(二)、(三)和(四),從1─3看出,S(一)=S(二),S(三)=S(四),而

S[,三]=S[,四]=S[,正方形]-S[,大扇形]=8[2,]-π/4×8[2,]≈16(平方厘米)

析解4分析1─1,可以設想將1─1中的形①遷移到扇形③的右上角而正好填滿所在的小正方形,見 1─4。這就是說,形①、②、③的面積之和恰好等于大正方形的一半。于是有

S[,陰影]=S[,大扇形]-(S[,①]+S[,②]+S[,③])

=S[,大扇形]-1/2S[,正方形]

=π/4×8[2,]-1/2×8[2,]≈48-32

=16(平方原米)

綜上可見,不同的著眼點將產生不同的解題思路,也因此可以較好地訓練思維的廣闊性和有序性。