初中數學綜合題的解題對策研究

馮佑剛

數學教學的主要任務是教給學生在實際生活和生產實踐中最有用的數學基礎知識，并在教學過程中有意識地培養學生應用這些知識分析和解決實際問題的能力。新課程數學教材的內容大都有豐富的背景，并且是學生熟悉并能理解的，又能適應學生的認知水平和知識經驗，現代生活氣息較濃厚，強調學生在“做”中學數學，在學生學習數學的過程中，學生的主體性、探索性、建構性的學習特征應得到充分的關注與發掘。綜合題的教學有利于在中學數學教學過程中體現問題解決的思想精髓，強調創造能力和應用意識，鼓勵學生去探索、猜想和發現。研究初中數學綜合題的教學問題對更好地實現新課程所倡導的新理念具有重要的現實意義。文章主要論述初中數學綜合題的概念、特點，并在此基礎上提出了一些針對初中數學綜合題特點的解題對策。

一、初中數學綜合題的概念、特點

數學知識之間具有縱向邏輯聯系，這些數學知識一般分屬于相同的數學分支，主要依靠知識之間的內在邏輯關系實現它們的聯系。所謂綜合題，就是橫跨兩個或兩個以上知識塊的具有一定難度的問題，需要利用包含兩個或兩個以上知識塊中的若干知識點，經過適當的計算和推理才能獲解的問題。在初中數學中，把一個涉及到代數、幾何或概率統計等多個知識點、多項基本技能、多種數學思想方法的問題稱為綜合題。

綜合題具有以下一般特點：融合了豐富的數學知識；滲透了重要的數學思想方法，如配方法、換元法、待定系數法、方程與函數思想、轉化與化歸思想、數形結合思想、分類討論思想等；體現了較高的思維能力，如抽象概括、歸納類比、聯想轉化、分析綜合等。在課改形勢下，初中數學教科書以及中考數學命題中都以《數學課程標準》為依據出現了許多新特點：探究型問題不時涌現，關注社會生活，聚焦社會熱點，實際應用性進一步加強，考查創新意識和實踐能力逐步加強，綜合考查思維品質等。

初中數學綜合題教學，注重數學知識的整體性，注重使學生學到的知識構成網絡，形成系統，打破章節、學科的界限，提高綜合應用知識的能力和遷移能力。因此在知識網絡的交匯點上加強指導，改進教學方法，有利于促進學生對所學知識主動地進行歸納和整理，實現對知識的主動建構，獲得認知結構的改造和重組；有利于培養學生的探索精神和創新意識，提高綜合運用知識解決問題的能力。

二、初中數學綜合題的解題對策

初中教學綜合題所考查的并非孤立的知識點，也并非個別的思想方法，它是對考生綜合能力的一個全面考查，所涉及的知識面廣，所使用的數學思想方法也較全面。解數學綜合題一要樹立必勝的信心，二要具備扎實的基礎知識和熟練的基本技能，三要掌握常用的解題策略。具體需要做到以下幾點：

(一)運用數形結合思想

在初中階段出現的綜合題很多都是與坐標系有關的，其特點是通過建立點與數即坐標之間的對應關系，一方面可用代數方法研究幾何圖形的性質，另一方面又可借助幾何直觀，得到某些代數問題的解答。在數學教學中，突出數形結合思想，有利于學生從不同的側面加深對問題的認識和理解，提供解決問題的方法。也有利于培養學生將實際問題轉化為數學問題的能力。

(二)運用函數與方程思想

直線與拋物線是初中數學中的兩類重要函數，即一次函數與二次函數的圖像。因此，無論是求其解析式還是研究其性質，都離不開函數與方程的思想。如函數解析式的確定，往往需要根據已知條件列方程或方程組并解之而得。在初中數學綜合題中，用方程思想求解的題目隨處可見。同時方程思想也是解幾何計算題的重要策略。

(三)運用分類討論的思想

分類討論思想可用來檢測學生思維的準確性與嚴密性。常常通過條件的多變性或結論的不確定性來進行考察，有些問題，如果不注意對各種情況分類討論，就有可能造成錯解或漏解。分類討論就是把難度較大的問題轉化為難度較小的問題，實現化難為易、化繁為簡的目的。近年來，為加強對學生思維能力的全面考查。分類討論題在各地中考題中頻頻出現。

(四)運用等價轉換思想

任何一個數學問題的解決都離不開轉換的思想。初中數學中的轉換大體包括由已知向未知、由復雜向簡單的轉換，而作為中考綜合題，更注意不同知識之間的聯系與轉換。中考數學壓軸題一般是融代數、幾何、三角于一體的綜合試題，轉換的思路得到更加充分的應用。

初中數學綜合題教學要重視對數學知識的整理。幫助學生理清數學知識的內在聯系，使學生的數學知識系統化，從而對數學概念有一個更清晰的理解，對數學知識脈絡有一個更分明的認識。同時還要重視在教學中滲透數學思想方法，數學思想是解數學綜合題的靈魂，要在初中數學綜合題教學中有意識地講解一些重要的數學思想方法，使學生逐步領會數學思想方法在解綜合題時所起的關鍵作用。把握學生學習狀態和最佳教學時機，適時啟發，不斷激勵學生再發現、再創造，培養學生綜合分析和運用能力，從而使學生的思維品質和數學素質得到提高。

目前的初中數學綜合題已經由單純的知識疊加型轉化為知識、方法和能力綜合型。綜合題既要求數學知識的縱橫聯系，也要求數學思想方法的融會貫通。解數學綜合題要著重研究解題的思維過程，弄清基本數學知識和基本數學思想在解題中的意義和作用，研究運用不同的思維方法，解決同一數學問題的多條途徑，在分析解決綜合問題的過程中，構建知識的橫向聯系，養成多角度思索問題的習慣。